②不妨设f(x)在E上可积,则f(x)在E=E[f=g],E2=E[f≠g]上均可积 则g在E[f=g]上可积,又mE[f≠g]=0,故g(x)在E2=E[f≠g]上可积,从 而g在E=EUE2上可积。且 fdx= fdx+L. fdx= gdx+ gdx (正是由于此结论,有关积分的命题,遇到几乎处处成立的条件时,都不妨当成 处处成立来证明) ③因为g(x)=f(x)+(g(x)-f(x),由定理5.1.2知 「。gdx=』fdx+(g-f)dx≥fdx ④因为f(x)|=f+f,所以|f(x)|可积。又因为 f(x)|≤f(x)≤|f(x)|,故 fdx≤」 fds IfIx,即 S foxI≤』fdx证毕 注意:绝对可积性对 Rieman广义积分是不成立的。正因为如此,才有条件 可积与绝对可积之分。 定理5.1.5(积分唯一性)若在E上非负可测,且。fdx=0,则f 0a.e于E 证明:因为0=「fdx≥ 空7=0,故≥门=0 而Ef>0=UEf≥],故mE[f>0]=0,于是f=0a.e于E,证毕。 定理5.1.6若f(x)在E上可积,则f在E上几乎处处有限②不妨设 f(x)在 E 上可积，则 f(x)在 E1＝E[f＝g]，E 2 ＝E[f≠g]上均可积。 则 g 在 E[f＝g]上可积，又 m* E[f≠g]＝0，故 g(x)在 E 2 ＝E[f≠g]上可积，从 而 g 在 E＝E1∪E 2 上可积。且 ∫E fdx＝∫E1 fdx＋∫E2 fdx＝∫E1 gdx＋∫E2 gdx。 (正是由于此结论，有关积分的命题，遇到几乎处处成立的条件时， 都不妨当成 处处成立来证明) ③因为 g(x)＝f(x)＋(g(x)－f(x))，由定理５.１.２知 ∫E gdx＝ ∫E fdx＋∫E (g－f)dx≥∫E fdx。 ④因为|f(x)|＝f + ＋f − ，所以｜f(x)｜可积。又因为 -|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|， 故 －∫E |f|dx≤ ∫E fdx≤∫E |f|dx ，即| ∫E fdx|≤∫E |f|dx 。证毕。 注意：绝对可积性对 Rieman 广义积分是不成立的。正因为如此，才有条件 可积与绝对可积之分。 定理５.１.５ （积分唯一性）若在 E 上非负可测，且∫E fdx＝0，则 f ＝0 a.e 于 E 证明：因为 0＝∫E fdx≥∫       > n E f 1 fdx≥ n 1 mE[f≥ n 1 ]≥0，故 mE[f≥ n 1 ]＝0， 而 E[f＞0]＝U ∞ n=1 E[f≥ n 1 ]，故 mE[f＞0]＝0,于是 f＝0 a.e 于 E ，证毕。 定理５.１.６ 若 f(x)在 E 上可积，则f在E 上几乎处处有限