证明:因为』ra≥n1fhx>nm[f≥n,所以 If2n]s→0,、(n→),而E=+∞]=∩Ef≥n,由内极限定 理知:m[f=+∞]=lmmE[f≥n]=0,证毕 定理5.1.7(积分绝对连续性)若f(x)在E上可积,则对ε>0,彐 6>0,当可测集AcE,且mA<6时,有|[fdx|<e。 证明:1.若f(x)为简单函数,则令M=max{clli=1,2,,n},对 当A∈E,且mA<δ时 fdx|≤| f I dx I<M 2.若f(x)为E上的一般可积函数,则f(x)为E上的非负可积函数,存 在非负简单函数列{中n(x)}满足中,(x)≤中n(x),中n(x)→|f(x)|(n +∞),对Vε>0, 「。|f|x-』中,<5,对中,M>0, 中。|≤M,令8=n5>0,当A∈E,且m<8时,有∫fx|≤ f|dx=「[-中x+.中x≤。[一中]x+,中xx≤2+ M×E=ε.证毕 2M证明： 因为 ∫E |f|dx≥∫E[ ] f ≥n fdx≥n mE[|f|≥n]，所以 m[|f|≥ n ]≤ → 0 ∫ n fdx E , ( ) n → ∞ ，而 E[f＝+∞]＝I ∞ n=1 E[|f|≥n]，由内极限定 理知：mE[|f|＝+∞]＝n→∞ lim mE[|f|≥n]=0，证毕 定理５.１.７ (积分绝对连续性) 若 f(x)在 E 上可积，则对∀ ε＞0,ョ δ＞0，当 可测集 A⊂ E，且 mA＜δ 时，有｜∫A fdx｜＜ε。 证明：1.若 f(x)为简单函数，则令 M＝max{|c i |｜i=1,2,...,n}，对∀ ε ＞0，ョ δ＝ M ε ，当 A⊂ E，且 mA＜δ 时，｜∫A fdx｜≤∫A ｜f｜dx｜＜M× M ε ＜ε. 2.若 f(x)为 E 上的一般可积函数，则|f(x)|为 E 上的非负可积函数，存 在非负简单函数列{φn (x)}满足 φn (x)≤φn+1 (x)，φn (x)→｜f(x)｜ (n→ ＋∞)，对∀ ε＞0，ョ N 0， ∫E ｜f｜dx－ ∫E φ N0 dx＜ 2 ε ，对 φ N0 ，ョ M＞0， ｜φ N0 ｜≤M，令 δ＝ 2M ε ＞0，当 A⊂ E，且 mA＜δ 时，有｜∫A fdx｜≤ ∫A ｜ f｜dx＝∫A [f－φ N0 ]dx＋∫A φ N0 dx ≤ ∫E [f－φ N0 ]dx＋∫A φ N0 dx＜ 2 ε ＋ M× 2M ε ＝ε.证毕