316 兵工学报 第28卷 间关系的场合，参数后验分布的模拟更为方便，贝叶 而在收敛出现前的m次迭代中，各状态的边际分布 斯生存分析理论及其应用日趋成熟。 还不能认为是π(U),因此在估计E[h(U)]时应将 在此背景下，本文提出利用贝叶斯生存分析的 前m个迭代值去掉，即： 有关理论，针对文献[1]中的模型从2个方面加以改 进：1)在模型中引入基于Gibbs抽样的MCMC稳 E[h(U)]≈1 >】h(Ux). (3) n-m.=m+1 态模拟方法，构建弹药贮存可靠性的贝叶斯生存分 析模型，以解决传统贝叶斯分析中高维数值积分的 2指数回归模型的贝叶斯分析 困难：2)构建弹药贮存可靠度的回归模型，有效地 2.1随机截尾的指数回归模型 反映出不同环境条件对弹药贮存可靠性的影响。 文献[1]中指出，弹药贮存可靠性试验的一种常 1基于Gibbs的MCMC模拟方法[5-6] 见情况是随机试验。在该类试验中，发现弹药失效 的时刻并非弹药实际失效的时刻，弹药的寿命数据 设k维随机向量U=(U1,…,U)具有联合分 具有截尾的特性，即：只知道弹药个体中一部分寿命 布π(U1,…,U5),其中，U(i=1,…,k)为模型参 值低于某个值，而剩余部分的寿命只知其超过某一 数或缺失的观测值，π(·)为其后验分布，函数h(U) 特定值。截尾方式的不同导致了不同的寿命试验及 的数学期望为： 研究方法的各异]。弹药贮存的随机截尾试验是 很简单且经常可实现的一种研究过程：将试验中发 E[h(U)]=h(u)x(u)du x(u)du, 现弹药失效的年份减1，规定为该枚弹药的寿命值， (1) 则在枚弹药样本中，每个样本具有寿命Y和截 由于该积分往往形式复杂难于计算，此时采用 尾时间L(如：在第5年试验失效的弹药规定其寿命 蒙特卡罗积分进行近似，即： Y=4,若该枚弹药未失效，则具有截尾寿命时间 ELh(U)]之 L=5),Y和L是独立的连续随机变量。设试验中 h(U) (2) 能且仅能观测到弹药样本的寿命t:=minY;,L,J, 当U1,…,U相互独立时，由大数定律可知， (i=1,…,n).若Y,>L;,则第i枚弹药在L,后失 样本容量越大，其近似程度越高。但在很多复杂 去观察（被截尾）。定义指示变量：当Y:≤L= 模型中，并不能简单地对U1,…,U做出相互独立 1,当Y;>L,=0.于是得到弹药贮存寿命在随机 的假设，这就需要使用MCMC稳态模拟方法。 截尾试验中的似然函数为： MCMC模拟本质上是使用马尔可夫链的蒙特卡罗 L(t)= n f(t)[1-F(t)]-". 积分，基本思想是：建立马尔可夫链对未知变量进行 抽样模拟，当链达到稳态分布时即得所求的后验分 i=1 布。基于贝叶斯推断原理的MCMC方法主要用于 (4) 产生后验分布的样本，计算边缘分布以及后验分布 对于文献[1]中所指出的、贮存寿命服从指数分 的矩。不同的抽样方法导致了不同的MCMC方法， 布的弹药，设其贮存寿命t=（t1,…,tn)T服从失效 Gibbs抽样是其中最简单也是应用最广泛的一种。 率为入的指数分布，记为e(λ)，则其失效时间密度 Gibbs抽样过程属于马尔可夫更新机制的范 f(t:|入)=λexp(-t入)，可靠度及其失效时间分布 畴。在上述假设条件下，令U,代表某种随机变量 函数为：F(t:|a)=1-exp(-t入)=1-R(t|入). 或同组的几个随机变量：第；组变量的边缘分布为 综上可得随机截尾条件下，关于ε（入）的似然函数如 f(U).给定任意初始向量U0)=(U0),, 下： U9),由f(U1lU,…,U9)中抽取样本U: L(ln,t,)II ftl)"R( 由f(U2UP,U,,U0)中抽取样本U”:由 i=1 f(UU,…,U,U91,…,U9)抽取样本 Ⅱ[，exp(-t)][exp(-ta)J1-.(5) U:并由f(UsU,U,,U1)抽取样本 文献[1]中将贮存可靠度表示为故有可靠度的 U:由上即完成了由Uo到U1)=(U,…, 条件贮存可靠度的乘积，认为固有可靠度应由弹药 U)的转移。经过之次迭代，可以得到U)= 出厂验收的试验数据得到。实际中，由于贮存环境 (U,…,U),并最终得到U1,U2),U3”,… 的复杂性使得该方法的局限性极强。由此引入失效 易证[5：由不同的U0出发，当之→∞，在遍历条件 率入的伴随变量，建立指数回归模型，以确定贮存 下，可以认为各时刻Ux)的边际分布为平稳分布， 寿命与某些环境变量（如：湿度、温度、辐射等）之间 此时它收敛，并可以被看作是样本的仿真观测点。 的关系：令λ；=exp(xB),式中：x:为伴随变量，代间关系的场合，参数后验分布的模拟更为方便，贝叶 斯生存分析理论及其应用日趋成熟。 在此背景下，本文提出利用贝叶斯生存分析的 有关理论，针对文献［1 ］中的模型从2 个方面加以改 进：1 ）在模型中引入基于 Gi bbs 抽样的 MCMC 稳 态模拟方法，构建弹药贮存可靠性的贝叶斯生存分 析模型，以解决传统贝叶斯分析中高维数值积分的 困难；2 ）构建弹药贮存可靠度的回归模型，有效地 反映出不同环境条件对弹药贮存可靠性的影响。 1 基于Gibbs的 MCMC模拟方法［5 -6 ］ 设a 维随机向量!=（U1 ，…，Ua ）具有联合分 布!（U1 ，…，Ua ），其中，Ui （i = 1 ，…，a ）为模型参 数或缺失的观测值，!（·）为其后验分布，函数h（!） 的数学期望为： E［h（!）］=｝h（ ）!（ ）d （｝!（ ）d ）， （1 ） 由于该积分往往形式复杂难于计算，此时采用 蒙特卡罗积分进行近似，即： E［h（!）］＞1 7 】 7 Z =1 h（! （Z ））. （2 ） 当 U1 ，…，Ua 相互独立时，由大数定律可知， 样本容量7 越大，其近似程度越高。但在很多复杂 模型中，并不能简单地对 U1 ，…，Ua 做出相互独立 的假 设，这 就 需 要 使 用 MCMC 稳 态 模 拟 方 法。 MCMC 模拟本质上是使用马尔可夫链的蒙特卡罗 积分，基本思想是：建立马尔可夫链对未知变量进行 抽样模拟，当链达到稳态分布时即得所求的后验分 布。基于贝叶斯推断原理的 MCMC 方法主要用于 产生后验分布的样本，计算边缘分布以及后验分布 的矩。不同的抽样方法导致了不同的 MCMC 方法， Gi bbs 抽样是其中最简单也是应用最广泛的一种。 Gi bbs 抽样过程属于马尔可夫更新机制的范 畴。在上述假设条件下，令 Ui 代表某种随机变量 或同组的几个随机变量；第 组变量的边缘分布为 （U ）. 给 定 任 意 初 始 向 量 ! （0 ）=（U（0 ） 1 ，…， U（0 ） a ），由 （U1】U（0 ） 2 ，…，U（0 ） a ）中抽取样本 U（1 ） 1 ； 由 （U2】U（1 ） 1 ，U（0 ） 3 ，…，U（0 ） a ）中抽取样本 U（1 ） 2 ；由 （U 】U（1 ） 1 ，…，U（1 ） -1 ，U（0 ） + 1 ，…，U（0 ） a ）抽取样本 U（1 ） ；并由 （Ua】U（1 ） 1 ，U（1 ） 2 ，…，U（1 ） a -1 ）抽取样本 U（1 ） a ；由上即完成了由 ! （0 ）到 ! （1 ） =（U（1 ） 1 ，…， U（1 ） a ）的转移。经过 Z 次迭代，可以得到 ! （Z ） = （U（Z ） 1 ，…，U（Z ） a ），并最终得到 ! （1 ），! （2 ），! （3 ），…. 易证［5 ］：由不同的 ! （0 ）出发，当Z 一 ，在遍历条件 下，可以认为各时刻 ! （Z ）的边际分布为平稳分布， 此时它收敛，并可以被看作是样本的仿真观测点。 而在收敛出现前的 m 次迭代中，各状态的边际分布 还不能认为是!（!），因此在估计E［h（!）］时应将 前 m 个迭代值去掉，即： E［h（!）］＞ 1 7 - m 】 7 Z = m+1 h（! （Z ））. （3 ） 2 指数回归模型的贝叶斯分析 2.1 随机截尾的指数回归模型 文献［1 ］中指出，弹药贮存可靠性试验的一种常 见情况是随机试验。在该类试验中，发现弹药失效 的时刻并非弹药实际失效的时刻，弹药的寿命数据 具有截尾的特性，即：只知道弹药个体中一部分寿命 值低于某个值，而剩余部分的寿命只知其超过某一 特定值。截尾方式的不同导致了不同的寿命试验及 研究方法的各异［7 ］。弹药贮存的随机截尾试验是 很简单且经常可实现的一种研究过程：将试验中发 现弹药失效的年份减1 ，规定为该枚弹药的寿命值， 则在7 枚弹药样本中，每个样本具有寿命 Y 和截 尾时间L（如：在第5 年试验失效的弹药规定其寿命 Y = 4 ，若该枚弹药未失效，则具有截尾寿命时间 L =5 ），Y 和L 是独立的连续随机变量。设试验中 能且仅能观测到弹药样本的寿命I i = mi n｛Yi ，Li ｝， （i =1 ，…，7 ）. 若Yi ＞Li ，则第i 枚弹药在Li 后失 去观察（被截尾）。定义指示变量"：当Yi ＜Li ，"i = 1 ，当Yi ＞Li ，"i =0 . 于是得到弹药贮存寿命在随机 截尾试验中的似然函数为： L（"）= 7 （ ！ 7 - 】 7 i =1 "i ）！ H 7 i =1 （"）"［i 1 -F（"）］1 -"i . （4 ） 对于文献［1 ］中所指出的、贮存寿命服从指数分 布的弹药，设其贮存寿命"=（I 1 ，…，I 7 ）T 服从失效 率为#的指数分布，记为$（#），则其失效时间密度 （I i】#）= #exp（-I i #），可靠度及其失效时间分布 函数为：F（I i】#）= 1 -exp（-I i #）= 1 - R（I i】#）. 综上可得随机截尾条件下，关于$（#）的似然函数如 下： L（#】7 ，"，!）。 H 7 i =1 （I i】#）"i R（I i】#） （1 -"i ） 。 H 7 i =1 ［#iexp （-I i #i ）］" ［i exp （-I i #i ）］ （1 -"i ） . （5 ） 文献［1 ］中将贮存可靠度表示为故有可靠度的 条件贮存可靠度的乘积，认为固有可靠度应由弹药 出厂验收的试验数据得到。实际中，由于贮存环境 的复杂性使得该方法的局限性极强。由此引入失效 率#的伴随变量，建立指数回归模型，以确定贮存 寿命与某些环境变量（如：湿度、温度、辐射等）之间 的关系：令#i = exp（o T i"），式中：#i 为伴随变量，代 316 兵 工 学 报 第28 卷