第3期 基于MCMC稳态模拟方法的弹药贮存可靠性评估模型 317 表了影响弹药贮存寿命的主要因素：B为回归系数 向量，刻画了影响程度的大小。则指数回归模型的 (v(m-Dlog-exp(. (8) 似然函数如下： 同上，引入参数入的伴随变量建立Weibull回 L(BIn,t,x,)o I f(t;la)"R(o 归模型：令入；=exp(xB),则Weibull回归模型的似 然函数为 Ⅱ[exp(xB)exp(-t,exp(xB)]阝× L(m7lt,X,vcm防ep{[rB+ [exp(-t:exp(xB))]1-c v:(m -1)log(t;)-exp(x B)t] (9) ep(空xiBexp{-ew(B)}. (6) 3.2参数的贝叶斯估计 2.2参数的贝叶斯估计 由贝叶斯理论知，当m己知时，exp(入)的共轭 按照通常的处理方式，设B的先验分布为p维 先验密度服从Gamma分布：当m与入均未知时，尚 多元正态分布π（引40，S0),其中均值为40，协方差 没有合适的联合先验密度。这里令m服从Gamma 矩阵为S0,记为N,0,S0),则B后验分布为： 先验分布S(0,K0)、入服从正态先验分布V(u0, π（Bln,t,X,v)cL(Bln,t,X,v)π（Blo,So)c 品)，则m与入的联合后验分布如下： ep(空p)ep-会4eoxp小x π(m,入|n,t,X,D)cc L(m,aln,t,X,v)x(mlao,Ko)(loB)= cxp{←-B-nrs(B-小ac L(,λ|，t,X,v) e即（空B-会axB)- 1 aexp-(wo) √J2元 266 2(B-Ho)Sa(B-Ho). (7) 不难看出，(7)式的形式复杂，一般情况下，难以 i=l 给出其后验估计的精确形式，因而，对阝后验分布 的计算可借助前文中所介绍的MCMC模拟方法，利 e）-0m-2aA-a2. (10) 用Gibbs抽样方法从B的后验分布种抽样得出参数 引入参数入的伴随变量，得到Weibull回归模型m 的全条件分布密度： 与？的联合后验分布为 π（月|n,t,X,UB-)oc L(月，B-1n,t,X,v)×π，B-10S0). m,Bl,X,Em*em(空(gp+ 3 Veibull回归模型的贝叶斯分析 u,(m-1)log(t;）-exp(x:B)t）-kom- 3.1随机截尾的指数回归模型 2B-rs1(B-}. (11) 对于文献[1]中所指出的另一类贮存寿命服从 由上式也可以看出，π(m,入|n,t,X,v)的计算 形状参数为m、尺度参数为？的Weibull分布的弹 复杂，一般情况下难以给出后验结果精确形式，同上 药（记为W(m,7),记其失效时间密度为f(t,, 对后验分布的计算也可借助MCMC模拟方法。 7)=m-lexp(-t),可靠度R(tlm,7)及其 失效时间分布函数为： 4数值仿真分析 F(tilm,n)=1-exp(n )=1-R(tilm,n). 4.1仿真数据 令1=log(n),则上式化简为 假定某种弹药的贮存寿命服从指数分布e(入)， f(t;|m,a)=mtW-lexp(λ-exp(λ)t) 为了考察该种弹药在环境1与环境2中贮存寿命的 及：F(t;|m,A)=1-exp(-exp(入)t).则在随机 差异（即伴随变量一环境对其贮存寿命的影响，且设 截尾条件下，关于W(m,刀)的似然函数如下： 仅有两种环境可能)，分别取贮存于该两种环境的弹 L(m,aln,t,v)cc 药进行随机截尾试验（如2.1小节所述），并记录试 Ⅱflm,a)R(tlm,a)1-c 验中的射击数、失效数，弹药贮存后射击试验的仿真 数据如表1所示。设B=（B,B1)T,其中为截 m×n(以+ 距，31为环境变量x:的系数：设B~N2(0,10,I), 由此即得出如(6)式所示的一元指数回归模型。表了影响弹药贮存寿命的主要因素；!为回归系数 向量，刻画了影响程度的大小。则指数回归模型的 似然函数如下： L（! 7 ，!，"，"） 7 i =1 f（t i ） i R（t i ）（1 - i ） 7 i =1 ［exp （# T i!）exp （-t iexp （# T i!））］ i > ［exp （-t iexp （# T i!））］（1 - i ） exp｛ 7 i =1 i# T i!｝exp｛- 7 i =1 t iexp （# T i!）｝. （6 ） 2. 2 参数的贝叶斯估计 按照通常的处理方式，设!的先验分布为I 维 多元正态分布 （! #0 ，$0 ），其中均值为#0 ，协方差 矩阵为$0 ，记为 NI （#0 ，$0 ），则!后验分布为： （! 7 ，!，"，"） L（! 7 ，!，"，"） （! #0 ，$0 ） exp｛ 7 i =1 i# T i!｝exp｛- 7 i =1 t iexp （# T i!）｝> exp｛- 1 2 （!-#0 ）T $-1 0 （!-#0 ）｝ exp｛ 7 i =1 i# T i!- 7 i =1 t iexp （# T i!）- 1 2 （!-#0 ）T $-1 0 （!-#0 ）｝. （7 ） 不难看出，（7 ）式的形式复杂，一般情况下，难以 给出其后验估计的精确形式，因而，对!后验分布 的计算可借助前文中所介绍的 MCMC 模拟方法，利 用Gi bbs 抽样方法从!的后验分布种抽样得出参数 的全条件分布密度： （ j 7 ，!，"，"，! （-j ）） L（ j ，! （-j ） 7 ，!，"，"）> （ i ，! （-j ） #0 ，$0 ）. 3 Weibull 回归模型的贝叶斯分析 3. 1 随机截尾的指数回归模型 对于文献［1 ］中所指出的另一类贮存寿命服从 形状参数为 m 、尺度参数为 的 Wei bull 分布的弹 药（记为 W（m ， ）），记其失效时间密度为f（t i m ， ）= m t m -1 i exp（- t m i ），可靠度 R（t i m ， ）及其 失效时间分布函数为： F（t i m ， ）=1 -exp （ t m i ）=1 - R（t i m ， ）. 令 =log （ ），则上式化简为 f（t i m ， ）= mt m -1 i exp （ -exp （ ）t m i ） 及：F（t i m ， ）= 1 -exp （-exp （ ）t m i ）. 则在随机 截尾条件下，关于 W（m ， ）的似然函数如下： L（m ， 7 ，!，"） 7 i =1 f（t i m ， ） i R（t i m ， ） （1 - i ） m 7 i =1 i > exp｛ 7 i =1 i + 7 i =1 （ i （m -1 ）log （t i ）-exp （ ）t i m ｝. （8 ） 同上，引入参数 的伴随变量建立 Wei bull 回 归模型：令 i =exp （# T i!），则 Wei bull 回归模型的似 然函数为 L（m， 7 ，!，"，"） m 7 i =1 i >exp｛ 7 i =1 ［ i # T i!+ i （m -1 ）log （t i ）-exp （# T i!）t m i ］｝. （9 ） 3. 2 参数的贝叶斯估计 由贝叶斯理论知，当 m 已知时，exp（ ）的共轭 先验密度服从Ga mma 分布；当 m 与 均未知时，尚 没有合适的联合先验密度。这里令 m 服从 Ga mma 先验分布 （0 ， 0 ）、 服从正态先验分布N（ 0 ， 2 0 ），则 m 与 的联合后验分布如下： （m ， 7 ，!，"，"） L（m ， 7 ，!，"，"） （m 0 ， 0 ） （ 0 ， 2 0 ）= L（m ， 7 ，!，"，"）（ 0 0 （ 0 ）m 0 - exp （- 0 m ））> 1 2! 0 exp（- 1 2 2 0 （ - 0 ）2） m 0+ 7 i =1 i -1 exp｛ 7 i =1 i + 7 i =1 （ i （m -1 ）log （t i ）- exp （ ）t m i ）- 0 m - 1 2 2 0 （ - 0 ）2｝. （10 ） 引入参数 的伴随变量，得到 Wei bull 回归模型 m 与 的联合后验分布为 !（m ，! 7 ，!，"，"） m 0+ 7 i =1 i -1 exp｛ 7 i =1 （ i# T i!+ i （m -1 ）log （t i ）-exp （# T i!）t m i ）- 0 m - 1 2 （!-#0 ）T $-1 0 （!-#0 ）｝. （11 ） 由上式也可以看出， （m ， 7 ，t ，X ， ）的计算 复杂，一般情况下难以给出后验结果精确形式，同上 对后验分布的计算也可借助 MCMC 模拟方法。 4 数值仿真分析 4. 1 仿真数据 假定某种弹药的贮存寿命服从指数分布 （ ）， 为了考察该种弹药在环境1 与环境2 中贮存寿命的 差异（即伴随变量—环境对其贮存寿命的影响，且设 仅有两种环境可能），分别取贮存于该两种环境的弹 药进行随机截尾试验（如2. 1 小节所述），并记录试 验中的射击数、失效数，弹药贮存后射击试验的仿真 数据如表1 所示。设!=（ 0 ， 1 ）T，其中 0 为截 距， 1 为环境变量Ii 的系数；设!"N 2 （0 ，104 ，I ）， 由此即得出如（6 ）式所示的一元指数回归模型。 第3 期 基于 MCMC 稳态模拟方法的弹药贮存可靠性评估模型 317