等周问题 在平面上周长相等的所有简单闭曲线中,怎样的曲线所围图形的面积最大?这 就是著名的“等周问题”。早在古希腊时期,人们就已经猜测这样的曲线应该是圆周。 但这一事实的严格证明是近代才给出的。确切的结论如下 定理平面上具有定长的所有简单闭曲线中,圆周所围的面积最大。换言之,若 L是平面上简单闭曲线C的长度,A是曲线C所围图形的面积,则 A 4 且等号成立时,C必须是圆周 注就是周长为L的圆所围的面积 我们现在仅限于对平面上光滑的简单闭曲线讨论问题。以下的证明是 Hurwitz 在1902年给出的。 为了证明以上结论,需要以下结论,有兴趣的同学可以将证明补上 引理( Wirtinger)设函数∫的导数∫'在[-x,丌]上连续,且f(-z)=∫(x), f(x)dx=0,则 且等号成立当且仅当f(x)= acos+ bsin x(a,b为常数) 定理的证明 设曲线C以弧长为参数的方程为 x=x(s), y=y(s), SE[O,L] 且参数s从0变到L时,点(x(s),y(s)沿逆时针方向画出曲线C。因为C是闭曲线, 所以x(0)=x(L),y(0)=y(L)。作变量代换s=1+,可将该曲线的方程改写为 x=9(1),y=v(1),t∈[-丌,], 且成立q(-r)=(),v(-x)=v(x) 不妨假设[9(0=0。若[o(m=k≠0,则闭曲线C: =x-=g(1 y 2 是C的一个平移,其所围图形的面积与C所围图形的面积相同,于是考虑C即可 由于s=L t+二,所以 ds L ,再由弧长的微分公式得等周问题 在平面上周长相等的所有简单闭曲线中，怎样的曲线所围图形的面积最大？这 就是著名的“等周问题”。早在古希腊时期，人们就已经猜测这样的曲线应该是圆周。 但这一事实的严格证明是近代才给出的。确切的结论如下： 定理 平面上具有定长的所有简单闭曲线中，圆周所围的面积最大。换言之，若 L 是平面上简单闭曲线 C 的长度， A 是曲线 C 所围图形的面积，则 4 2 L A  ， 且等号成立时， C 必须是圆周。 注 4 2 L 就是周长为 L 的圆所围的面积。 我们现在仅限于对平面上光滑的简单闭曲线讨论问题。以下的证明是 Hurwitz 在 1902 年给出的。 为了证明以上结论，需要以下结论，有兴趣的同学可以将证明补上。 引理（Wirtinger）设函数 f 的导数 f  在 [,] 上连续, 且 f ()  f () ， ( )  0    f x dx ，则         f (x)dx f (x)dx 2 2 ， 且等号成立当且仅当 f (x)  acos x  bsin x （ a, b 为常数）。 定理的证明 设曲线 C 以弧长为参数的方程为 x  x(s) ， y  y(s) ， s [0,L]， 且参数 s 从 0 变到 L 时，点 (x(s), y(s)) 沿逆时针方向画出曲线 C 。因为 C 是闭曲线， 所以 x(0)  x(L)，y(0)  y(L) 。作变量代换 2 2 L t L s    ，可将该曲线的方程改写为 x (t)， y (t)，t [, ]， 且成立 () ()，() () 。 不妨假设 ( )  0     t dt 。若 ( )   0  t dt k    ，则闭曲线 C ~ ： 2 ~ k x  x  =   2 ( ) k t  ， ( ) ~ y  y  t （ t [, ] ） 是 C 的一个平移，其所围图形的面积与 C 所围图形的面积相同，于是考虑 C ~ 即可。 由于 2 2 L t L s    ，所以 2 L dt ds  ，再由弧长的微分公式得