定义14.5(理赔次数为 Poisson过时的盈余过程)设N是 Poisson过程,它表示相 继的理赔时刻,而各次理赔的金额是与理赔发生相互独立的独立同分布随机变量列{xn) 其中Xn(>0)表示第n次理赔金额.把时刻t前的累计索赔额记为S,即 S=X1+…+XM (14.7) 它是强度λ的复合 Poisson过程.假定单位时间的投保费为c,而承担此项保险的公司的初 始保证金(准备金)为x0.那么在时刻t公司在此项保险上的盈余为 U =xo +ct-S, (14.8) 它是一个随机过程,称为盈余过程 定义14.6令P=EX1.为了保证运行,保险公司必须要求c>2p.记 14. 它称为相对安全负荷 定义14.7(破产时刻,破产赤字,最终破产概率,永不破产的概率) 随机时刻 U,≤0} (14.10) 称为破产时刻,|Ur|称为破产赤字,它显然满足U7->0,U7≤0.而 < (14.11) 则是在U0=x0的条件下最终破产的概率,则简称为破产概率.类似地 v(x0,l)=P(T≤t|U=x0) 称为I前破产的概率.记永不破产的概率为R(x),则 R(x)=1-v(x)=P(U1≥0,V1)=P(S1-ct≤x,V1) P(sup 2o(S,-ct)sxo)=P(L Sxo) (14.13) 其中 L=supo ( s, -ct) 是保险公司的最大损失.可见永不破产的概率R(x0)正是最大损失的分布函数.类似地还 有t前不破产的概率408 定义１４.５（理赔次数为 Poisson 过时的盈余过程） 设Nt 是 Poisson 过程, 它表示相 继的理赔时刻, 而各次理赔的金额是与理赔发生相互独立的独立同分布随机变量列{ ) X n , 其中 (> 0) Xn 表示第n 次理赔金额. 把时刻t 前的累计索赔额记为St , 即 Nt St = X1 +L+ X . (14. 7) 它是强度l 的复合 Poisson 过程． 假定单位时间的投保费为c , 而承担此项保险的公司的初 始保证金(准备金)为 0 x . 那么在时刻t 公司在此项保险上的盈余为 t St U = x0 + ct - . (14. 8) 它是一个随机过程, 称为盈余过程. 定义１４.６ 令 p = EX1 . 为了保证运行, 保险公司必须要求 c > lp . 记 L = - 1 D p c l , (14. 9) 它称为相对安全负荷. 定义１４.７（破产时刻，破产赤字，最终破产概率，永不破产的概率） 随机时刻 = inf{ : £ 0} Ut T t (14. 10) 称为破产时刻, | | UT 称为破产赤字, 它显然满足UT - > 0,UT £ 0. 而 ( ) ( ) 0 0 0 y x = P T < ¥ | U = x (14. 11) 则是在 0 0 U = x 的条件下最终破产的概率, 则简称为破产概率． 类似地 ( ) ( ) 0 0 0 y x ,t = P T £ t |U = x (14. 12) 称为t 前破产的概率． 记永不破产的概率为 ( ) 0 R x , 则 ( ) 1 ( ) ( 0, ) ( , ) 0 0 0 R x x P U t P S ct x t = -y = t ³ " = t - £ " (sup ( ) ) ( ) 0 0 0 P S ct x P L x = t t - £ = £ D ³ , (14. 13) 其中 sup ( ) 0 L S ct = t³ t - D 是保险公司的最大损失． 可见永不破产的概率 ( ) 0 R x 正是最大损失的分布函数. 类似地还 有t 前不破产的概率