R(x0,1) (14.14) 显见有R(x0,∞)=R(x) 在本书中,如果不作特别声明,恒假设理赔额X是有分布密度Px(x)的随机变量.于 是累计理赔额S(它是复合 Poisson过程)的分布函数为Fs(x,1)具有密度函数,记为 Ps(x,1).从而盈余过程U,的分布函数为 F(x,D)=P(x+ct-S,≤x)=1-Fs(x0+ct-x,),(1415) 并有密度,记为Pu(x,1),表示准备金为x0时,盈余过程在时刻t的分布密度.显见有 Pu(x, t)=Ps(xo +Ct-x, t) (14.15) 2.2t前不破产的概率的公式与估计 准备知识 定义14.7随机变量序列{xn}称为可交换的随机序列,如果对于任意m及 12…,m}的任意一个排序{,l2,…,m},均有{xn,X2,…,X}与{X1,Xx2,…,Xm}同 分布.可交换的随机序列Xn的部分和Sn=x+X1+…+Xn,(S0=0)称为具可交换增量的 随机序列 例14.8独立同分布随机变量的部分和是最简单的具可交换增量的随机序列 例14.9设N是以{rn}为更新流的更新过程,而其独立同分布的更新间隔为 T1,…,Tn,…这时,在条件N,=n下,{m}msn对于条件概率P(*N1=n)而言,是具有 可交换增量的随机序列 与随机徘徊相类似,具可交换增量的随机序列也有对称原理,它是随机徘徊的对称原 理的推广 命题14·1◎(可交换增量的随机序列对称原理)设Sn为具可交换增量的随机序 列,且S=0,则有 P(S1>0,(<n),Sn∈[a,b])=P(S1<Sn、(i<n),Sn∈[a,b]).(14.16) (其证明几乎可以照搬第3章中随机徘徊的对称原理定理3.30)的证明) 命题14.11( Dass- Dinges定理) 设Sn为具可交换增量的随机序列Sn=x+X1+…+Xn,其中X取值于 {10.-1-2,…}.S0=x(整数).那么,在m>x时有 409409 ( , ) 1 ( , ) 0 0 R x t = -y x t D ． (14. 14) 显见有 ( , ) ( ) 0 0 R x ¥ = R x ． 在本书中, 如果不作特别声明, 恒假设理赔额 Xi 是有分布密度 p (x) X 的随机变量． 于 是累计理赔额 St (它是复合 Poisson 过程) 的分布函数为 F (x,t) S 具有密度函数, 记为 p (x,t) S . 从而盈余过程Ut 的分布函数为 ( , ) ( ) 1 ( , ) 0 0 F x t P x ct S x F x ct x t U = + - t £ = - S + - , (14.15) 并有密度, 记为 p (x,t) U ，表示准备金为 0 x 时, 盈余过程在时刻t 的分布密度． 显见有 ( , ) ( , ) 0 p x t p x ct x t U = S + - . (14. 15)＇ ２．２ t 前不破产的概率的公式与估计 准备知识 定义１４.７ 随机变量序列 { } X n 称为可交换的随机序列 , 如果对于任意 m 及 {1,2,L,m}的任意一个排序{ , , , } 1 2 m i i L i , 均有{ , , , } i1 i2 im X X L X 与{ , , , } X1 X2 L X m 同 分布．可交换的随机序列 Xn 的部分和 ,( 0) = + 1 + + 0 = D S x X X S n L n 称为具可交换增量的 随机序列． 例１４．８ 独立同分布随机变量的部分和是最简单的具可交换增量的随机序列． 例１４．９ 设 Nt 是以{ }n t 为更新流的更新过程，而其独立同分布的更新间隔为 T1 ,L,Tn ,L．这时，在条件 Nt = n下, m m£n {t } 对于条件概率 P( | N n) * t = 而言，是具有 可交换增量的随机序列 与随机徘徊相类似，具可交换增量的随机序列也有对称原理，它是随机徘徊的对称原 理的推广． 命题１４．１０ (可交换增量的随机序列对称原理) 设Sn 为具可交换增量的随机序 列, 且S0 = 0 , 则有 P(S 0,(i n),S [a,b]) P(S S ,(i n),S [a,b]) i > < n Î = i < n < n Î . (14. 16) (其证明几乎可以照搬第 3 章中随机徘徊的对称原理(定理３．３０)的证明) 命题１４．１１ (Dwass –Dinges 定理) 设 Sn 为具可交换增量的随机序列 n X Xn S = x + 1 +L+ , 其 中 Xi 取值于 {1,0,-1,-2,L} . S = x 0 (整数). 那么, 在m > x时有