P(S, <m,i<n),S=m)=-P(S,=m) 14.17) (证明几乎可以照搬第3章定理3.34的证明) 可交换的随机序列可以由条件独立同分布随机变量列来描述.这就是著名的 de finetti定理.我 们把它放在下面以供参考 etit定理若{Xn}smx是可交换的随机序列(只有有限个随机变量时定理不真),则存在 一个随机变量n,使在已知的条件下,{Xn}为条件独立同分布的即对于任意m,x1,…xn2y,恒有 P(X1≤x1…,Xm≤xm|n=y)=P(xk≤xk|n=y) 1.无准备金情形的永不破产概率 引理14.12若U0=x=0,则对x>0,我们有 P(U,≥0,x<U1≤x+dx,<D)=P(U,<U12x<U1≤x+dx,vs<) P(x x+ (证明大意由于盈余过程U,是由复合 Poisson过程构成的,所以它是独立增量过程.于是它在相等时 间间隔的采样是独立随机变量的和,因而采样列是具有可交换增量的随机变量列对它应用对称原理,再 让采样间隔趋于0,便得第一个等式再对U,用 Dwass-Dinges定理,并让采样间隔趋于0,便得第二个等 (1)无准备金时t前不破产概率R(0,1)的第一个计算公式 因为x0=0,所以U1≤Ct.在(14.18)两边对x从0到ct积分,我们得到 R(0.,t)=P(U,≥0,s≤D)=P(U,≥0,U1≤ct,Vs≤1)= xpu(x, t dx 对于上式右方用分部积分,再用变量替换ct-x=y,并用(1415),则 上式右方=[ct(c,0)-F(x,)b [ct-(1-Fs( ndx] Fs(, ndy 于是我们得到如下的第一个公式 R(0,1) [注]此公式在理赔额无分布密度时仍然正确,证明只需作一些必要的修改 (2).无准备金时t前不破产概率R(0,)的第二个计算公式 由前面的推导过程可以看出 410410 ( ,( ), ) P(S m) n m x P Si m i n Sn m n = - < < = = . (14. 17) (证明几乎可以照搬第 3 章定理３．３４的证明) . [注] 可交换的随机序列可以由条件独立同分布随机变量列来描述. 这就是著名的 de Finetti 定理. 我 们把它放在下面以供参考 de Finetti 定理 若 X n 1£n<¥ { } 是可交换的随机序列 (只有有限个随机变量时定理不真), 则存在 一个随机变量h , 使在h 已知的条件下, { } X n 为条件独立同分布的. 即对于任意m x x y n , , , , 1 L , 恒有 Õ= £ £ = = £ = m k P X x X m xm y P X k xk y 1 1 1 ( ,L, |h ) ( |h ) . １．无准备金情形的永不破产概率 引理１４．１２ 若U0 = x0 = 0 , 则对x > 0, 我们有 P(U 0, x U x dx, s t) s ³ < t £ + " < = P(U U , x U x dx, s t) s < t < t £ + " < = ct x P(x U x dx) < t £ + . (14. 18) (证明大意 由于盈余过程Ut 是由复合 Poisson 过程构成的, 所以它是独立增量过程. 于是它在相等时 间间隔的采样是独立随机变量的和, 因而采样列是具有可交换增量的随机变量列. 对它应用对称原理, 再 让采样间隔趋于0, 便得第一个等式. 再对 Ut c 1 用Dwass-Dinges 定理, 并让采样间隔趋于0, 便得第二个等 式). (1) 无准备金时t 前不破产概率 R(0,t) 的第一个计算公式 因为x0 = 0 , 所以U ct t £ . 在(14. 18)两边对x 从 0 到ct 积分, 我们得到 R(0,t) = P(U 0, s t) s ³ " £ = P(U 0,U ct, s t) s ³ t £ " £ = ct 1 xp x t dx U ct ( , ) ò0 ． 对于上式右方用分部积分, 再用变量替换ct - x = y , 并用(14.15), 则 上式右方 [ ( , ) ( , ) ] 1 0 ctF ct t F x t dx ct ct = U - ò U ò = - - - ct S ct F ct x t dx ct 0 [ (1 ( , )) ] 1 F y t dy ct ct S ( , ) 1 ò0 = ． 于是我们得到如下的第一个公式 F y t dy ct R t S ct ( , ) 1 (0, ) ò0 = ． (14. 19) [注] 此公式在理赔额无分布密度时仍然正确, 证明只需作一些必要的修改． (2). 无准备金时t 前不破产概率 R(0,t) 的第二个计算公式 由前面的推导过程可以看出