RQ)=a2--50)=a+[(-()-S>y 再利用P(S,>y)=ES=Ap,并用相对安全负荷A=C-1作为参数,便得另 个表达式 R(,1)=,+[P(S,>y)y (14.20) 1+A ct 我们把它们综合为下面的定理。 定理14.13对无准备金且以复合 Poisson过程理赔的风险模型,在时刻t以前破产 的概率为 R(0)=F P(S,>yyy 1+a ct (3)无准备金时前不破产概率R(0,1)的上界估计 假定累次理赔额X的二阶矩有限.由 Chebyshev不等式,我们有 P(S,>y)=P(S,-ES,>y-itp)< Var(S,)XIEX (y-M1p)2(y-p)2 于是由(14.20得到上界估计 R(Q)≤A+AEH2 ZEX (14.21) (4).无准备金时永不破产概率R(0)的公式 R(O)=RO∞)=4 (14.22 1+A 可见最终破产的概率为 v(0)= (14.23) 即相对安全负荷Asc 越大,则最终破产概率越小,这与直觉并无二致 2.有准备金情形下的不破产概率 现在设U=x>0.我们可以把有准备金情形化为无准备金情形.显见 R(x0,1)=P(U,≥0,(Vs≤1)=PU1≥0)-P(U1≥0,3s<t使U,=0) =P(S1≤ct+x)- P(U1≥0,s∈[Pp+)使U,=0,且r∈(s,1)有U>0)d.(14.23) 由于S在[P,P+)中不变化的概率为1-o(d),从而P(∈[PP+)使U,=0)与411 ò ò ò ¥ ¥ = - - = + - - > ct S t S ct ct F y t dy P S y dy ct ct F y t dy ct R t 0 0 [ (1 ( , )) ( ) ] 1 [ (1 ( , )) ] 1 (0, ) ． 再利用 ò ¥ > = = 0 P(St y)dy ESt ltp，并用相对安全负荷 L = - 1 p c l 作为参数, 便得另一 个表达式 P S y dy ct R t ct ò t ¥ + > + L L = ( ) 1 1 (0, ) ． (14. 20) 我们把它们综合为下面的定理。 定理１４．１３ 对无准备金且以复合 Poisson 过程理赔的风险模型, 在时刻t 以前破产 的概率为 F y t dy ct R t S ct ( , ) 1 (0, ) ò0 = P S y dy ct ct ò t ¥ + > + L L = ( ) 1 1 ． (3) 无准备金时前不破产概率R(0,t) 的上界估计 假定累次理赔额 Xi 的二阶矩有限. 由 Chebyshev 不等式，我们有 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y tp tEX y tp Var S P S y P S ES y tp t t t t l l l l - = - > = - > - £ ． 于是由(14. 20)得到上界估计 ct c p EX dy c y tp EX R t ct l l l l - + + L L £ - + + L L £ ò ¥ 1 ( ) 1 1 1 (0, ) 2 1 2 2 1 ． (14. 21) (4). 无准备金时永不破产概率R(0) 的公式 + L L = ¥ = 1 R(0) R(0, ) (14. 22) 可见最终破产的概率为 + L = 1 1 y (0) , (14. 23) 即相对安全负荷 L = - 1 p c l 越大, 则最终破产概率越小, 这与直觉并无二致. ２．有准备金情形下的不破产概率 现在设 U0 = x0 > 0 ．我们可以把有准备金情形化为无准备金情形．显见 ( , ) ( 0,( )) ( 0) ( 0, 0) R x0 t = P U s ³ "s £ t = P Ut ³ - P Ut ³ $s < t使Us = = P(St £ ct + x0 ) - P Ut s p p dp Us r s t U r dp t ( 0, [ , ) 0, ( , ) 0) 0 - ³ $ Î + = " Î > ò 使 且 有 . (14. 23) 由于 St 在[ p, p + dp) 中不变化的概率为 1- o(dp) , 从而 ($ Î[ , + ) = 0) p p dp U s P s 使 与