P(Un∈(-cp,0)只差0(中)(它们都近似地等于在长为中的时间段只有一次理赔的概 率)再则,由U1的独立增量性可知它也是 Markov过程,直观地利用全概率公式(如果要追 究数学的严格性,就需要注意破产时刻T是随机变量.在把T作为“现在”时刻,利用U,是 独立增量过程,仍然可以证明它对于这种随机的”现在”仍具有 Markov性{对随机的”现 在”仍有 Markov性的随机过程称为具有强 Markov性.本书中略去这较多测度论知识的 推导},注意到此时Un=c,于是(14.23)的右方为 Fs(xo+ct, t)-LP,(0, P)cdpR(O, t-p) 再用(14.15),就得到把有准备金情形化为无准备金情形的t前不破产概率的公式,即下面 的定理 定理14.14 R(x1)=F(x+c,)-cR(01-p)(x+,p)4.(142) 注]此公式在随机理赔额无分布密度时只需作相应的修改 2.3有准备金时最终破产概率的上界与调节系数 定理14.15下述关于s的方程 px(x) (14.25) 存在唯一正解R(即R满足1+pR(1+A)=[e"px(x)dx)它给出了最终破产概率 v(x)(-∞<x0<∞,即容许初始盈余为负一负债的情形)随初始盈余衰减的指数界: v(x)≤e-A 这个R称为调节系数 注]如果将理赔额的分布密度的Lpe变换记为L2()=e“"p1(x),那么R 为非线性方程 ALL.(s)-1=sc (14.26) 的正根,它可以用数值分析方法求得 证明首先,0显然是此方程的一个解.再则,方程(1425)的左方是s的线性函数,右 方则是s的趋于∞的凸函数,而在S=0处左边的导数大于右边的导数,因此,此方程还存 在一个正解,我们将第n次理赔前破产的概率记为vn(xo).那么,vn(x0)≤v(x0)且 vn(x0)→v(x0)·于是定理的证明只需对n归纳地证明 vn(x0)≤ (14.27) 注意v0(x)=l=0(x0),即n=0时(14.27)自然成立,今作归纳法假设n-1时(14.27)412 P(U ( cdp,0]) p Î - 只差o(dp) (它们都近似地等于在长为dp 的时间段只有一次理赔的概 率). 再则，由Ut 的独立增量性可知它也是 Markov 过程, 直观地利用全概率公式 (如果要追 究数学的严格性, 就需要注意破产时刻T 是随机变量. 在把T 作为 “现在”时刻, 利用Ut 是 独立增量过程, 仍然可以证明它对于这种随机的 ”现在”仍具有 Markov 性 {对随机的 ”现 在” 仍有 Markov 性的随机过程, 称为具有强 Markov 性． 本书中略去这较多测度论知识的 推导}, 注意到此时dU cdp p = , 于是(14. 23)的右方为 ( , ) (0, ) (0, ) 0 F x0 ct t p p cdpR t p t = S + - U - ò ． 再用(14. 15), 就得到把有准备金情形化为无准备金情形的 t 前不破产概率的公式，即下面 的定理. 定理１４.１４ ò = + - - + t R x t FS x ct t c R t p pS x cp p dp 0 0 0 0 ( , ) ( , ) (0, ) ( , ) . (14 24) [注] 此公式在随机理赔额无分布密度时只需作相应的修改． ２．３ 有准备金时最终破产概率的上界与调节系数 定理１４．１５ 下述关于s 的方程 sc e p x dx X sx ( ) ò0 ¥ l + = l (14. 25) 存在唯一正解 R (即R 满足 pR e p x dx X Rx 1 (1 ) ( ) ò0 ¥ + + L = ). 它给出了最终破产概率 ( ) 0 y x ( - ¥ < x0 < ¥ , 即容许初始盈余为负— -负债的情形) 随初始盈余衰减的指数界： 0 ( ) 0 Rx x e - y £ . (14. 26) 这个 R 称为调节系数． [注] 如果将理赔额的分布密度的 Laplace变换记为 L (s) PX ò ¥ - D = 0 e p (x)dx X sx , 那么R 为非线性方程 l[ L s sc pX (- ) - 1] = (14. 26)’ 的正根, 它可以用数值分析方法求得. 证明 首先，０显然是此方程的一个解． 再则, 方程(14.25)的左方是s 的线性函数, 右 方则是 s 的趋于¥ 的凸函数， 而在s = 0 处左边的导数大于右边的导数, 因此, 此方程还存 在一个正解．我们将第n 次理赔前破产的概率记为 ( ) 0 x y n ．那么, ( ) 0 x y n ( ) 0 £y x 且 ( ) 0 x y n ( ) 0 ®y x ．于是定理的证明只需对n 归纳地证明 ( ) 0 x y n Rx0 e - £ ． (14. 27) 注意 ( ) ( ) 0 0 ( ,0] 0 x I x y = -¥ , 即n = 0时(14. 27)自然成立． 今作归纳法假设 n -1时(14. 27)