正确.对于n的情形,利用第一次理赔时刻服从指数分布,在计算概率v(x)时,对第一次 理赔时刻与理赔额运用全概率公式,再用归纳法假定及调节系数的定义,我们得到 Wn(x)=cPm次理赔前破产首次理赔时刻为理赔额为y)p:(y)ht pPr (dy so*[ 24-Jep()=e 其中最后一个等号得自R的定义 庄注1]递推公式 yn(xo)=L hedrlym-(ro +ct-y)Px ()dy(14.28) 正给出了最终破产概率的递推近似 注2](般的理赔更新流情形)如果理赔流不是指数流,而是一般的更新流,那么调 节系数R定义应为下述方程的解s 其中T为首次理赔时刻.同样可以证明v(x0)≤en.注意当理赔流为指数流时,调节 系数用(14.29)定义与用(14.25)定义是一致的 定理14.15(调节系数的估计 R<2A 又若理赔额x是有界随机变量,且其上界为M,则还有下界估计 R>-log( 1+A) 证明由R满足 1+pR+A)=.e°n1(>〔(u+k+△)p:(=1+REx1+FEx 立得(1430).另一方面,在区间[0M]的两端,凸函数e与线性函数(e-1)+1相等 由此推出 l)+1 于是 1+pR+A)=「e-p(x)t≤"+x(2-1)p1(xk=1+( 因此1+A≤ 便得(1431) RM 413413 正确．对于n 的情形, 利用第一次理赔时刻服从指数分布, 在计算概率 (x ) y n 时, 对第一次 理赔时刻与理赔额运用全概率公式, 再用归纳法假定及调节系数的定义, 我们得到 x e P n t y p y dydt X t n ( ) ( | , ) ( ) 0 0 ò 次理赔前破产 首次理赔时刻为 理赔额为 ¥ - = l y l ò ò ¥ ¥ - - = + - 0 0 1 0 e dt (x ct y) p (y)dy n X t l y l ò ò ¥ ¥ - - + - £ 0 0 [ ] ( ) 0 e dt e p y dy X lt R x ct y l ò - - = + = 0 0 ( ) Rx X Rx Ry e e p y dy e l Rc l , 其中最后一个等号得自 R 的定义． [注 1] 递推公式 ( ) 0 x y n ò ò ¥ ¥ - - = + - 0 0 1 0 e dt (x ct y) p (y)dy n X t l y l (14. 28) 正给出了最终破产概率的递推近似. [注 2] (一般的理赔更新流情形) 如果理赔流不是指数流, 而是一般的更新流, 那么调 节系数 R 定义应为下述方程的解s ： 1 ( ) 1 1 = s X -cT Ee , (14. 29) 其中T1为首次理赔时刻．同样可以证明 0 ( ) 0 Rx x e - y £ ． 注意当理赔流为指数流时, 调节 系数用(14. 29)定义与用((14. 25)定义是一致的． 定理１４．１５ (调节系数的估计) 2 1 1 2 EX EX R < L ． (14. 30) 又若理赔额 Xi 是有界随机变量, 且其上界为M , 则还有下界估计 log(1 ) 1 > + L M R ． (14. 31) 证明 由R 满足 pR e p x dx X Rx 1 (1 ) ( ) ò0 ¥ + + L = ò ¥ > + + = + + 0 2 1 2 1 2 2 1 ) ( ) 1 2 ( ) (1 p x dx REX R EX Rx Rx X 立得(14.30)．另一方面, 在区间[0, M ]的两端, 凸函数 Rx e 与线性函数 ( -1) + 1 RM e M x 相等, 由此推出 Rx e £ ( -1) + 1 RM e M x ． 于是 pR e p x dx X Rx 1 (1 ) ( ) ò0 ¥ + + L = ò ¥ - £ + - = + 0 ( 1) (1 ( 1)) ( ) 1 p M e e p x dx M x RM X RM ． 因此 MR RM e RM e < - + L £ 1 1 , 便得(14.31)．