[注]理赔额存在密度Px(x)的假定也是不必要的,其证明也只需要把普通积分改为 Stieltjes积分 2.4破产概率的方程 由于理赔额超过x的概率为1-Fx(x),对于x≥0,在(14.28),令n→>∞,便得到破产概率 满足积分方程 dtl v(x+ct-y)Pr(y)dy 令l=x+Ct,那么 y(x)= he dul y(u-y)Pr (y)dy,(x20 另一方面,显见应有 y(x)=1,(x<0) (14.34) 对(14.33)求导数得到 v(x)=國v(x)-v(x-y)px(y)小y 再利用(1434)就得到下面的定理 定理14.16最终破产概率满足的积分微分方程: v(x)=0v(x)-v(m)p2(x=-n)bm--F2(x)(x>0).(423 它也可简单地写成永不破产概率的积分微分方程 R(x)=-[R(x)-R(u)px(r-u)du (14.35) 例15.17在理赔额服从指数分布及混合指数分布时,可以由(14.35)再求导数,导出v满足的常 系数常微分方程,求解便可得ψ的明显表达式,例如,在理赔额服从参数为μ的指数分布时,调节系数 为R=HA 最终破产概率为v(x)=~1 1+A [注1]理赔次数可以不必局限为 Poisson过程,一般地可以是一个更新过程,其中最简单的是 Erlang(2) 过程.相应地就有 Erlang(2)盈余过程 [注2]还有大数定律 U,、C-AEX1 2,从而有U(∞)=∞ [注3]一般重点关心的问题还有:在初始保证金为x时,集体风险理论中的破产时刻T,破产前 的盈余U与破产时刻的赤字-Ur这三个随机变量组(T,Ur,U7)如果存在联合密度 414414 [注] 理赔额存在密度 p (x) X 的假定也是不必要的, 其证明也只需要把普通积分改为 Stieltjes 积分. ２．４ 破产概率的方程 由于理赔额超过 x 的概率为1 F (x) - X , 对于 x ³ 0, 在(14. 28)中, 令 n ® ¥ , 便得到破产概率 满足积分方程 ò ò ¥ ¥ - = + - 0 0 (x) e dt (x ct y)p ( y)dy X t y l y l . (14. 32) 令u = x + ct , 那么 ( ) ( ) ( ) ,( 0) 0 ( ) = - ³ ò ò ¥ ¥ - - x e du u y p y dy x x X c u x y l y l . (14. 33) 另一方面, 显见应有 y (x) = 1,(x < 0). (14. 34) 对(14. 33)求导数得到 ò ¥ = - - 0 '( ) [ (x) (x y)p (y)dy] c x y y X l y ． 再利用(14. 34)就得到下面的定理. 定理１４．１６ 最终破产概率满足的积分微分方程: '( ) ( ( ) ( ) ( ) [1 ( )]),( 0) 0 = - - - - > ò x u p x u du F x x c x x y y X X l y ． (14. 35) 它也可简单地写成永不破产概率的积分微分方程: '( ) [ ( ) ( ) ( ) ] 0 R x R u p x u du c R x X x = - - ò l . (14. 35)’ 例１５．１７ 在理赔额服从指数分布及混合指数分布时, 可以由(14. 35)再求导数, 导出y 满足的常 系数常微分方程, 求解便可得y 的明显表达式． 例如, 在理赔额服从参数为 m 的指数分布时， 调节系数 为 + L L = 1 m R , 最终破产概率为 0 1 1 ( ) 0 Rx x e - + L y = ． [注１] 理赔次数可以不必局限为 Poisson 过程, 一般地可以是一个更新过程, 其中最简单的是 Erlang(2) 过程． 相应地就有 Erlang(2) 盈余过程． [注２] 还有大数定律 l lEX1 c N U t t t - ¾ ®¾¥® , 从而有 U (¥) = ¥ . [注３] 一般重点关心的问题还有： 在初始保证金为 0 x 时, 集体风险理论中的破产时刻T , 破产前 的盈余 UT- 与破产时刻的赤字 -UT ．这三个随机变量组 ( , , ) T UT - -UT 如果存在联合密度