2010年2月 明志茂等：研制阶段系统可靠性增长的Bayesian评估与预测 155 明这种方法可以用于可靠性增长过程中的可靠性跟 Press of National University of Defense Technology,2004. 踪和监控。 [2]SMITH A F M.A bayesian notes on reliability growth 假设第5阶段的试验结果为(7,7)，采用与前面 during a development testing program[J]. IEEE 完全相同的过程，利用本文的方法可以得到每阶 Transations on Reliability,1977,26(5):346-347. 段产品可靠性的Bayesian点估计和区间估计如表4 [3]BARLOW R E,SCHEUER E M.Reliability growth 所示。 during a development testing program []Technometrics, 表4各试验阶段可靠度的后验估计（评估） 1966(8):53-60. [4]SOHN S Y.Baysian dynamic forecasting for attribute 均值 标准差 10.0% 中位点 90.0% reliability[J].Computer Ind.Engng.,1997,33(3): f1] 0.5367 0.07714 0.4365 0.5375 0.6355 741-744. 2) 0.7498 0.06388 0.6651 0.7539 0.8292 []田国梁.二项分布的可靠性增长模型[).宇航学报， 3] 0.8604 0.04795 0.79%3 0.8650 0.9184 1992(1):55-61 的 0.9117 0.03789 0.8606 0.9165 0.9567 TIAN Guoliang.Reliability growth models for binomial 5] 0.9404 0.03015 0.8994 0.9451 0.9748 distribution[J].Journal of Astronautics,1992(1):55-61. 对比表3、4中各阶段可靠度估计的方差可看 [6]MAZZUCHI T A,SOYER R.A Bayes attribute 出，如果有第五阶段的可靠性试验数据，各阶段估 reliability growth model[C]//Proceedings Annual Relia- 计值的标准差比没有试验数据时的标准差要小，这 bility and Maintainability Symposium,1991:322-325. 主要是由于采用Gibbs方法对满条件分布式(14)进 [刀张士锋，李荣.基于Dirichlet验前的Baycs可靠性分析 行抽样过程中，加入第5个阶段的试验数据后，各 [仍.电子产品可靠性与环境试验，1999(6)：12-15. 阶段抽样条件发生变化，经过n次反复迭代抽样得 ZHANG Shifeng,LI Rong.Bayesian reliability analysis 到的最终结果将与只有4个阶段试验数据的抽样结 based on Dirichlet priors [J].Electronic Product 果不一致。这表明试验数据修正了对未来阶段可靠 Reliability and Environmental Testing,1999(6):12-15. 性认识，进一步加深了对R预测值的确信程度。 [图)】喻天翔，宋笔锋，冯蕴文.基于Dirichlet先验分布的 从以上分析可知，利用新的Dirichlet先验分布 Bayes二项可靠性增长方法[)，系统工程理论与实践， 建立的Bayesian可靠性增长模型能充分利用历史信 2006(1):131-135. 息、专家信息以及各阶段试验信息，适用于产品小 YU Tianxiang,SONG Bifeng,FENG Yunwen.Bayesian 子样复杂系统研制阶段的靠性增长评估与预测。 method for binomial reliability growth based on the dirichlet prior distribution[J].System Engineering Theory 5结论 and Practice,2006(1):131-135. [9)刘飞，窦毅芳，张为华.基于狄氏先验分布的固体火箭 (I)利用最优化方法将专家信息表示为Beta分 发动机可靠性增长Bayes分析[仍.固体火箭技术， 布的确定超参数的方法，建立新的Dirichlet先验的 2006,29(4):239-242. Bayesian可靠性增长推断模型，容易定量和衡量先 LIU Fei,DOU Yifang,ZHANG Weihua.Reliability 验参数，解决了超参数物理意义不明确、难以确定 growth Bayesian analysis for solid rocketmotor based on 的问题。 Dirichlet prior distribution [J].Joumal of Solid Rocket (2)基于当前试验数据，研究利用新的Dirichlet Technology,2006,294:239-242. 先验分布的Bayesian可靠性增长模型可以预测异总 [10]LI Guoying,WU Qiguang,ZHAO Yonghui.On Bayesian 体未来研制阶段的可靠性，扩展了模型应用范围。 analysis of binomal reliability growth[J].Japan Statist., (3)针对后验高维分布数值积分计算问题，对 Soc.,2002,32(1):1-14. 非标准分布采用变量替换的方法转化为标准分布，采 [1I]张金愧.Bayes方法M.长沙：国防科技大学出版社， 用Gibbs抽样解决参数的后验推断问题，简单易行。 1993. 参考文献 ZHANG Jinhuai.Bayes method [M].Changsha:Press of National University of Defense Technology,1993 [I]蔡洪，张士峰，张金槐.Bayes试验分析与评估方法M). [12]茆诗松，王静龙，濮晓龙.高等数理统计[M.北京： 长沙：国防科技大学出版杜，2004. 高等教育出版社，施普林格出版杜，1998. CAI Hong,ZHANG Shifeng,ZHANG Jinhuai.Bayes MAO Shisong,WANG Jinglong,PU Xiaolong.Advanced testing analysis assessment method[M].Changsha: mathematical statistics[M].Beijing China High 万方数据2010年2月 明志茂等：研制阶段系统可靠性增长的Bayesian评估与预测 155 明这种方法可以用于可靠性增长过程中的可靠性跟 踪和监控。 假设第5阶段的试验结果为(7，7)，采用与前面 完全相同的过程，利用本文的方法可以得到每阶 段产品可靠性的Bayesian点估计和区间估计如表4 所示。 表4各试验阶段可靠度的后验估计(评估) 对比表3、4中各阶段可靠度估计的方差可看 出，如果有第五阶段的可靠性试验数据，各阶段估 计值的标准差比没有试验数据时的标准差要小，这 主要是由于采用Gibbs方法对满条件分布式(14)进 行抽样过程中，加入第5个阶段的试验数据后，各 阶段抽样条件发生变化，经过n次反复迭代抽样得 到的最终结果将与只有4个阶段试验数据的抽样结 果不一致。这表明试验数据修正了对未来阶段可靠 性认识，进一步加深了对R预测值的确信程度。 从以上分析町知，利用新的Dirichlet先验分布 建立的Bayesian町靠性增长模型能充分利用历史信 息、专家信息以及各阶段试验信息，适用于产品小 子样复杂系统研制阶段的町靠性增长评估与预测。 5 结论 (1)利用最优化方法将专家信息表示为Beta分 布的确定超参数的方法，建立新的Didchlet先验的 Bayesian可靠性增长推断模型，容易定量和衡量先 验参数，解决了超参数物理意义不明确、难以确定 的问题。 (2)基于当前试验数据，研究利用新的Dirichlet 先验分布的Bayesian可靠性增长模型可以预测异总 体未来研制阶段的叮靠性，扩展了模型应用范围。 (3)针对后验高维分布数值积分计算问题，对 非标准分布采用变量替换的方法转化为标准分布，采 用Gibbs抽样解决参数的后验推断问题，简单易行。 参考文献 【l】蔡洪，张士峰，张金槐．Bayes试验分析与评估方法【M】． 长沙：国防科技大学出版社，2004． CAI Hong，ZHANG Shifeng，ZHANG Jinhuai．Bayes testing analysis&assessment method[M]．Changsha： Press ofNational University ofDefense Technology,2004． 【2】SMITH A F M．A bayesian notes on reliability growth during a development testing program[J]． IEEE Transations on Reliability,1977，26(5)：346-347． 【3】BARLOW R E，SCHEUER E M．Reliability growth during a development testing program[J】．Technometrics， 1966(8)：53-60． 【4】SOHN S Y．Baysian dynamic forecasting for attribute reliability【J】．Computer Ind．Engng．，1997，33(3)： 741—744． 【5】田国梁．二项分布的可靠性增长模型阴．宇航学报， 1992(1)：55·61． TIAN Guoliang．Reliability growth models for binomial distribution[J]．Journal ofAstronautics，1992(1)：55—61． 【6】MAZZUCHI T A，SOYER R．A Bayes attribute reliability growth model[C】／／Proceedings Annual Relia￾bility and Maintainability Symposium,1 99 1：322-325． 【7】张士锋，李荣．基于Dirichlet验前的Bayes町靠性分析 叨．电子产品町靠性与环境试验，1999(6)：12·15． ZHANG Shifcng，LI Rong．Bayesian reliability analysis based On Dirichlet priors阴．Electronic Product Reliability and Environmental Testing，1999(6)：12—15． 【8】喻天翔，宋笔锋，冯蕴文．基于Dirichlet先验分布的 Bayes二项可靠性增长方法【J】．系统工程理论与实践， 2006(1)：131-135． YU Tianxiang，SONG Bifeng，FENG Yunwen．Bayesian method for binomial reliability growth based on the dirichlet prior distribution[J]．System Engineering Theory and Practice，2006(1)：131-135． [9】刘飞，窦毅芳，张为华．基于狄氏先验分布的固体火箭 发动机可靠性增长Bayes分析【J】．固体火箭技术， 2006，29(4)：239-242． LIU Fei，DOU Yifang，ZHANG Weihua．Reliability growth Bayesian analysis for solid roeketmotor based on Dirichlet prior distribution【J】．Journal of Solid Rocket Technology,2006，29(4)：239-242． 【lO】LI Guoying，WU Qiguang，ZHAO Yonghui．On Bayesian analysis of binomal reliability growth[J]．Japan Statist．， Soe．，2002，32(1)：1-14． 【11】张金槐．Bayes方法【M】．长沙：国防科技大学出版社， 1993． ZHANGJinhuai．Bayes method【M】．Changsha：Press of National University ofDefense Technology,1993． 【12】茆诗松，王静龙，濮晓龙．高等数理统计【M】．北京： 高等教育出版社，施普林格出版社，1998． MAO Shisong，WANG Jinglong，PU Xiaolong．Advanced mathematical statistics[M]． Beijing： China Hiigh 万方数据