《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 §6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用 教学目标：掌握讨论函数的凹凸性和方法。 教学要求：弄清函数凸性的概念，掌握函数凸性的几个等价论断，会求曲线的拐点，能应用函数的 凸性证明某些有关的命题。 教学重点：利用导数研究函数的凸性 教学难点：利用凸性证明相关命题 教学方法：系统讲授法十演示例题 教学过程 引言 上面已经讨论了函数的升降与极值，这对函数性状的了解是有很大作用的.为了更深入和较 精确地掌握函数的性状，我们在这里再讲述一下有关函数凸性的概念及其与函数二阶导数的关 什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例，从直观上看一看何谓函数的凸性如函 数y=√F所表示的曲线是向上凸的，而y=x所表示的曲线是向下凸的，这与我们日常习惯上的 称呼是相类似的或更准确地说：从几何上看，若y=x)的图形在区间I上是凸的，那么连接曲线 上任意两点所得的弦在曲线的上方：若y=x)的图形在区间1上是四的，那么连接曲线上任意两 点所得的弦在曲线的下方 y=x2 =√x 0 0.511.52x 0 如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？ 设函数)在区间/上是凸的（向下凸），任意，名∈I(<书) 曲线y=)上任意两点（气，G》,B(x,:》之间的图象位于弦AB的下方，即任意《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 1 §6.5 微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用 教学目标: 掌握讨论函数的凹凸性和方法. 教学要求: 弄清函数凸性的概念,掌握函数凸性的几个等价论断,会求曲线的拐点,能应用函数的 凸性证明某些有关的命题. 教学重点: 利用导数研究函数的凸性 教学难点: 利用凸性证明相关命题 教学方法: 系统讲授法＋演示例题 教学过程: 引言 上面已经讨论了函数的升降与极值,这对函数性状的了解是有很大作用的.为了更深入和较 精确地掌握函数的性状,我们在这里再讲述一下有关函数凸性的概念及其与函数二阶导数的关 系. 什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性.如函 数 y x = 所表示的曲线是向上凸的,而 2 y x = 所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的 称呼是相类似的.或更准确地说：从几何上看,若 y＝f(x)的图形在区间 I 上是凸的,那么连接曲线 上任意两点所得的弦在曲线的上方；若 y＝f(x)的图形在区间 I 上是凹的,那么连接曲线上任意两 点所得的弦在曲线的下方. 如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？ 设函数 f x( ) 在区间 I 上是凸的（向下凸）,任意 1 x , 2 x I  （ 1 2 x x  ）. 曲线 y f x = ( ) 上任意两点 1 1 A x f x ( , ( )) , 1 1 B x f x ( , ( )) 之间的图象位于弦 AB 的下方,即任意