《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 x∈(：，)，∫()的值小于或等于弦AB在x点的函数值，弦AB的方程 y=f()+) 对任意x∈(：，x)有 )- X2-X ,整理得 X==1- 令3-，则有0<1<且x=:+-%,有5 ,上式可写成 fc+(1-)x]≤f(x)+1-)f(x,) 一、凸函数定义以及与连续性的关系 (一)凸（凹）函数的定义 定义1设函数f为定义在区间1上的函数，若对1上任意两点x、x,和任意实数1e(0,)总 有2x+1-)x)≤fx)+1-)f(x),则称f为I上的凸函数.反之，如果总有 fx+1-)x)2fx)+1-)f(x),则称f为1上的凹函数 注易证：若一f为区间1上的凸函数则f为区间1上的凹函数因此，今后只讨论凸函数的 性质即可 定义2设曲线y=x)在点(x,fx)处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的两 侧分别是严格凸或严格凹的，这时称(x,fx)为曲线y=x)的拐点 必须指出：若(x,f(x)是曲线yf(x)的一个拐点，y=fx)在点x的导数不一定存在，如 y=派在x=0的情形 (二)凸函数的特征 引理f为1上的凸函数一对于I上任意三点：<x,<x总有： ))) (3) X2一X X一X2 fx)严格凸函数一上式严格不等式成立。 《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 2 1 2 x x x ( , ) , f x( ) 的值小于或等于弦 AB 在 x 点的函数值,弦 AB 的方程 2 1 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x y x x f x x x − = − + − . 对任意 1 2 x x x ( , ) 有 2 1 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x x x f x x x −  − + − ,整理得 2 1 1 2 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) x x x x f x f x f x x x x x − −  + − − . 令 2 2 1 ( ) x x t x x − = − ,则有 0 1  t ,且 1 2 x tx t x = + − (1 ) ,易得 1 2 1 1 x x t x x − = − − ,上式可写成 1 2 1 2 f tx t x tf x t f x [ (1 ) ] ( ) (1 ) ( ) + −  + − . 一、凸函数定义以及与连续性的关系 (一) 凸（凹）函数的定义 定义 1 设函数 f 为定义在区间 I 上的函数,若对 I 上任意两点 1 x 、 2 x 和任意实数  (0,1) 总 有 1 2 1 2 f x x f x f x ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )     + −  + − , 则 称 f 为 I 上 的 凸 函 数 . 反 之 , 如果总有 1 2 1 2 f x x f x f x ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )     + −  + − ,则称 f 为 I 上的凹函数. 注 易证：若一 f 为区间 I 上的凸函数,则 f 为区间 I 上的凹函数,因此,今后只讨论凸函数的 性质即可. 定义 2 设曲线 y＝f(x)在点( 0 0 x f x , ( ) )处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两 侧分别是严格凸或严格凹的,这时称( 0 0 x f x , ( ) )为曲线 y＝f(x)的拐点. 必须指出；若( 0 0 x f x , ( ) )是曲线 y=f（x)的一个拐点,y＝f(x)在点 0 x 的导数不一定存在,如 3 y x = 在 x＝0 的情形. (二) 凸函数的特征 引理 f 为 I 上的凸函数  对于 I 上任意三点 1 2 3 x x x   总有： 2 1 3 2 2 1 3 2 f x f x ( ) ( ) f x f x ( ) ( ) x x x x − −  − − (3) f x( ) 严格凸函数  上式严格不等式成立