《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 证 →记 -元，则0<2<1及名=x+-2店，由f的凸性知 5-点)+-f) fx)≤fx)+(1-)fs)s-x x-x 4) 从而有 (x-x)f(x2)(x-x2)f(x)+(x-x)f(x3) (3-x)f(x)+(:-x)f(x)≤(3-x)f)+(x2-x)f(s) 整理即得(3)式. 七e16<,ae@包名=+0-5，则<西<，=克学 由必要性的推导步骤可逆，从(3)式便得(4)式故∫为凸函数： 同理便知，曲线上首尾相连的线，其斜率是递增的，即，∈/，<。<，有 ()-))-f() - X3一X f)严格凸函数一上式严格不等式成立， 定理设J为开区间1上的凸函数.若0，B]C则J在a,B]上满足利普希茨条件，且J 在1上连续. 证明（证明开区间1上的凸函数必为连续函数）当取定[Q,]c1后，由1为开区间，必可 选取1中的四点a、bcd满足： a<b<a<B<c<d 如图所示，再在[，中任取两点<x.应用引理得到 y=f(x/ 3《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 3 证  记 3 2 3 1 x x x x  − = − ,则 0 1    及 2 1 3 x x x = + −   (1 ) , 由 f 的凸性知 2 1 3 f x f x f x ( ) ( ) (1 ) ( )  + −   3 2 2 1 1 3 3 1 3 1 ( ) ( ) x x x x f x f x x x x x − − = + − − (4) 从而有 3 1 2 3 2 1 2 1 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x f x x x f x x x f x −  − + − 即 3 2 2 2 1 2 3 2 1 2 1 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x f x x x f x x x f x x x f x − + −  − + − 整理即得 (3) 式.  1 3   x x I , 1 3 ( ) x x  ,   (0,1) 记 2 1 3 x x x = + −   (1 ) ,则 1 2 3 x x x   , 3 2 2 1 x x x x  − = − 由必要性的推导步骤可逆,从 (3) 式便得 (4) 式.故 f 为凸函数. 同理便知,曲线上首尾相连的线,其斜率是递增的,即 1 2 3   x x x I , , , 1 2 3 x x x   ,有 2 1 3 1 2 1 3 1 f x f x ( ) ( ) f x f x ( ) ( ) x x x x − −  − − f x( ) 严格凸函数  上式严格不等式成立. 定理 设 为开区间 上的凸函数．若 则 在 上满足利普希茨条件,且 在 上连续． 证明 (证明开区间 上的凸函数必为连续函数) 当取定 后,由 为开区间,必可 选取 中的四点 满足： ． 如图所示,再在 中任取两点 . 应用引理得到