《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 f)-f(a)sf(x)-f(x)s f(d)-f(o) b-a x-x' d-c @999} 则 四-斗Lreo, x"-x 显然，上述L与[0，刷中的点x无关，故/在1上的每个内闭区间，刷上满足利普希茨 条件. 由此容易推知寸在[，]上连续，再由[，刷在1上的任意性，又可推知J在1上处处连续。 如果「是I上的可导函数，则进一步有： 二、凸函数与导数的关系 定理1（可导函数为凸函数的等价命题）设「为区间1上的可导函数，则下述论断互相等价： (1)f为1上的凸函数：(2)∫为1上的增函数：(3)对1上的任意两点x,x总有 f(x)zf(x)+f(xXx-x) 证()→(ii)、x2∈L,为〈2，并取>0，使 利〈程+h〈程-h〈x2 据定理3.12，有 (西+)-()<x2)-{2)-2-) 2-为 由了可微，当→0时，对上述不等式取极限后，得到 f')sfa2）-sf'2) 2-为 所以」是1上的递增函数. Gi)→ii)M0,习c1,由微分中值定理和/递增，便可证得 f(x)-f(和)=f"传)x-和)2f'(x和)x-和) 《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 4 ． 令 , 则 , ． 显然,上述 L 与 中的点 无关, 故 在 上的每个内闭区间 上满足利普希茨 条件． 由此容易推知 在 上连续,再由 在 上的任意性,又可推知 在 上处处连续． 如果 f 是 I 上的可导函数,则进一步有： 二、凸函数与导数的关系 定理 1（可导函数为凸函数的等价命题） 设 f 为区间 I 上的可导函数,则下述论断互相等价： （1）f 为 I 上的凸函数；（2） f  为 I 上的增函数；（3）对 I 上的任意两点 1 2 x x, 总有 2 1 1 2 1 f x f x f x x x ( ) ( ) ( )( )  + −  证 (i) (ii) ,并取 ,使 据定理 3.12,有 由 可微,当 时,对上述不等式取极限后,得到 ． 所以 是 上的递增函数． (ii) (iii) 由微分中值定理和 递增,便可证得