《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 当x〈时，也有相同结论 6i)→()为、2e1,Ae(0,1),并记西-A西+0-)西，则有 -3-(1-(西-2).2-x3-(2-为) 由(iii)可得 [f()2fx)+f'(x3(-x)-=f(x3)+0-0f'(3-x2) f(x2)2f()+f'(3)2-)=f(x3)+'()-为)， =(1)+1-0f(x2)2f(x3)=f(x+(1-入)x2) 注定理中m的几何意义如下图所示曲线y冈上任意一点处的切线恒位于曲线的下 方在了为可微的前提条件下，常用上述切线与曲线的位置关系（的来表述凸函数。但是在没有可 微条件假设时，凸函数只能用曲线与其任一弦的位置关系（定义）来定义. y y=f(x) 0 如果f在1上二阶可导，则进一步有： 定理2（凸函数与二阶导数的关系）设f为1上的二阶可导函数，则在I上f为凸（凹）函 数台“>0(<0)，x1.f为严格凸一1)"20：2)不在1上的任-子区 间上恒为零 此定理说明：了为严格凸，则曲线中不含有直线段（厂"）=0).对于凹函数情形，也有类似 的定理（因为了凸，则了凹）. 可导函数∫有如下相互等价的论断： 1)∫为1上四函数. f(x)-f(x)f(x)-fx) 2),西西∈1，<<有名- 一.即割线斜率递减《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 5 当 时,也有相同结论． (iii) (i) ,并记 ,则有 , 由(iii)可得 . 注 定理中(iii)的几何意义如下图所示:曲线 上任意一点处的切线恒位于曲线的下 方在 为可微的前提条件下,常用上述切线与曲线的位置关系(iii)来表述凸函数．但是在没有可 微条件假设时,凸函数只能用曲线与其任一弦的位置关系(定义 1)来定义． 如果 f 在 I 上二阶可导,则进一步有： 定理 2（凸函数与二阶导数的关系） 设 f 为 I 上的二阶可导函数,则在 I 上 f 为凸（凹）函 数  f x ( ) 0  （ f x ( ) 0  ）, x I  . f 为严格凸  1） f x ( ) 0  ；2） f x ( ) 不在 I 上的任一子区 间上恒为零. 此定理说明： f 为严格凸,则曲线中不含有直线段（ f x ( ) 0 = ）.对于凹函数情形,也有类似 的定理（因为 f 凸,则− f 凹）. 可导函数 f 有如下相互等价的论断： 1） f 为 I 上凹函数. 2） 1 2 3   x x x I , , , 1 2 3 x x x   有 2 1 3 2 2 1 3 2 f x f x ( ) ( ) f x f x ( ) ( ) x x x x − −  − − .即割线斜率递减