《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 3)(为1上递减函数. 4),∈I,有≤化)+f-),xe1.当f在1上二阶可导时，下述论断与 1),2),3),4)相等价. 5)在1上∫"(x)≤0 对严格凹的情形可类似得出等价论断. 二、拐点 定义2设曲线y=fx)在点(x,f(x)处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的两 侧分别是严格凸或严格凹的，这时称(，f(x)为曲线y=x)的拐点.（即为曲线凹凸部分的分界 点) 必须指出：若(x,fx)是曲线y寸(x)的一个拐点，y=x)在点的导数不一定存在，如 y=派在x=0的情形 定理3（拐点必要条件）若f在x二阶可导，则(x,∫x)为曲线y=x)的拐点的必要条件 是f"(x)=0. 综上知：(x,fx)的拐点，则要么(1)∫“(x)=0:要么(2)f在点不可导. 定理4设f在点x可导，在某邻域U(x)内二阶可导，若在U(x)和U.(x)上f()的符号相 反，则(x,fx)为曲线y=fx)的拐点 例1讨论函数fx)=arctan的凸性与拐，点. 2x 解)=0+，因面当0时.20，当20时.了e0,从而西数了为 (0,0上的凸函数，在0，+o)上为凹函数.而/)在原点连续，故原点为曲线y=)的拐点 例2若f在a,创内可导、凸（凹）函数，则∈a)为f的极小（大）值点台f)=0 即为∫的稳定点 证户)费马定理. =)因∫凸，故xe(a,)有f≥f,)+fx-),因f)=0,故xe(a,)总有 fx)≥f().即为的极小值点. 6 《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 6 3） f x ( ) 为 I 上递减函数. 4） 0   x I ,有 0 0 0 f x f x f x x x ( ) ( ) ( )( )  + −  , x I  .当 f 在 I 上二阶可导时,下述论断与 1）,2）,3）,4）相等价. 5）在 I 上 f x ( ) 0  . 对严格凹的情形可类似得出等价论断. 二、拐点 定义 2 设曲线 y＝f(x)在点( 0 0 x f x , ( ) )处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两 侧分别是严格凸或严格凹的,这时称( 0 0 x f x , ( ) )为曲线 y＝f(x)的拐点.（即为曲线凹凸部分的分界 点） 必须指出；若( 0 0 x f x , ( ) )是曲线 y=f（x)的一个拐点,y＝f(x)在点 0 x 的导数不一定存在,如 3 y x = 在 x＝0 的情形. 定理 3（拐点必要条件） 若 f 在 0 x 二阶可导,则( 0 0 x f x , ( ) )为曲线 y＝f(x)的拐点的必要条件 是 0 f x ( ) 0 = . 综上知：( 0 0 x f x , ( ) )的拐点,则要么（1） 0 f x ( ) 0 = ；要么（2）f 在 0 x 点不可导. 定理 4 设f 在点 0 x 可导,在某邻域 0 U x( ) 内二阶可导,若在 0 U x( ) + 和 0 U x( ) − 上 f x ( ) 的符号相 反,则( 0 0 x f x , ( ) )为曲线 y＝f(x)的拐点. 例 1 讨论函数 f x x ( ) arctan = 的凸性与拐点. 解 2 2 2 ( ) (1 ) x f x x  = − + ,因而当 x  0 时, f x ( ) 0  ；当 x  0 时, f x ( ) 0  ,从而函数 f 为 ( ,0] − 上的凸函数,在 [0, ) + 上为凹函数.而 f x( ) 在原点连续,故原点为曲线 y f x = ( ) 的拐点 例 2 若 f 在 ( , ) a b 内可导、凸（凹）函数,则 0 x a b ( , ) 为 f 的极小（大）值点  0 f x ( ) 0 = . 即 0 x 为 f 的稳定点. 证  ）费马定理.  ）因 f 凸,故  x a b ( , ) 有 0 0 0 f x f x f x x x ( ) ( ) ( )( )  + −  .因 0 f x ( ) 0 = ,故  x a b ( , ) 总有 0 f x f x ( ) ( )  .即 0 x 为 f 的极小值点