《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 例3设∫在开区间/上为凸（凹）函数，证明∫在开区间1内任一点都存在左、右导数 证只证凸函数在存在右导数，其它情形同理可证。 令0<么<历，记=+h,x=+h则<x<x(取h充分小使+么∈I), 由3式得： f(xo+h)-f(xo)f(xo+h)-f(xo) Fh=+)-) 记 h (h>0) 则有Fh)≤F)即F为单调递增函数取∈I且≤无，则 f(xo)-f(x)f(xo+h)-f(%o) X0-x4 h 从而F递增有下界，从而mF存在，即，)存在 注对区间端点，左、右导数可能存在，也可能为∞，由第五章1习题10知（若∫在的左、 右导数都存在，则∫在连续)，若∫在为开区间a,)内的凸（凹）函数，则f为(a,b)内的连续 函数.（但不一定可导，如f)x) 三、詹森Jensen)不等式 定理（詹森0 Jensen)不等式）设∫为a,1上的凸函数，∈a,b,>0G=l2,川且 乞1则有 f位x)s∑A) (6) 成立.若/为严格凸函数，=1,2，“，川不全相等，则上式严格不等式成立.《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 7 例 3 设 f 在开区间 I 上为凸（凹）函数,证明 f 在开区间 I 内任一点 0 x 都存在左、右导数. 证 只证凸函数 f 在 0 x 存在右导数,其它情形同理可证. 令 1 2 0   h h ,记 1 0 1 x x h = + , 2 0 2 x x h = + ,则 0 1 2 x x x   （取 2 | | h 充分小使 0 2 x h I +  ）, 由 (3 ) 式得： 0 1 0 0 2 0 1 2 f x h f x f x h f x ( ) ( ) ( ) ( ) h h + − + −  记 0 0 ( ) ( ) ( ) f x h f x F h h + − = ( 0) h  则有 2 1 F h F h ( ) ( )  即 F h( ) 为单调递增函数.取 4 x I  且 4 0 x x  ,则 0 4 0 0 0 4 f x f x f x h f x ( ) ( ) ( ) ( ) x x h − + −  − , 从而 F h( ) 递增有下界,从而 0 lim ( ) h F h → + 存在,即 0 f x( ) +  存在. 注 对区间端点,左、右导数可能存在,也可能为  .由第五章§1 习题 10 知（若 f 在 0 x 的左、 右导数都存在,则 f 在 0 x 连续）,若 f 在为开区间 ( , ) a b 内的凸（凹）函数,则 f 为 ( , ) a b 内的连续 函数.（但不一定可导,如 f x x ( ) | | = ） 三、 詹森(Jensen)不等式 定理 (詹森(Jensen)不等式) 设 f 为 [ , ] a b 上的凸函数, [ , ] i x a b  , 0 i  ( 1, 2, , ) i n = 且 1 1 n i i  =  = ,则有 1 1 ( ) ( ) n n i i i i i i f x f x   = =   （6） 成立.若 f 为严格凸函数, ( 1,2, , ) i x i n = 不全相等,则上式严格不等式成立