《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 证用归纳法：n=2时命题由凸函数定义显然成立.假设n=k时命题成立，即 4>00-12.23=1 新②o空心要时之40n苦- =空+4=-2经+l （由白销法可.当空，a时空a 卡2=1 因为台1-，故 4x 台1-1∈(a,b)) s0-空-0rs0-2-4 =艺Af)→结论成立 注由于(6)式中当双=2时即为凸函数的定义式(1)，所以詹森不等式(6)也可用来作为凸函数 的定义，而詹森不等式的应用也就是凸函数的应用. 对具体的函数套用Jensen不等式的结果，可以证明一些较复杂的不等式。这种证明不等式 的方法称为Jensen不等式法或凸函数法.具体应用时，往往还用到所选函数的严格单调性. 创4证明：对医yeR有不等式兰sg+e 例5设>0G=l2.,川，则 工≤+有当 n 当且仅当所有，全相等时等号成立. 证所有全相等时，等号显然成立.只须证不全等时，有严格不等号成立即可 《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 8 证 用归纳法： n = 2 时命题由凸函数定义显然成立.假设 n k = 时命题成立,即 0 i  ( 1, 2, , ) i k = , 1 1 k i i  =  = ， 则有 1 1 ( ) ( ) k k i i i i i i f x f x   = =   . 要证 n k = +1 时命题成立.设 0 i  ( 1,2, , , 1) i k k = + , 1 1 1 k i i  + =  = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) [(1 ) ] 1 k k k i i i i i i k k k k k i i i k x f x f x x f x        + + + + + + = = = + = + = − + −    （由归纳法可知,当 1 1 n i i  =  = , ( , ) i x a b  时 1 n i i i  x =  ( , ) a b , 因为 1 1 1 k i i k  =  = −  ,故 1 1 1 k i i i k  x = − +  ( , ) a b ） 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 1 k i k i k k i k f x f x     + + + = +  − + −  1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 1 k i k i k k i k f x f x     + + + = +  − + −  1 1 ( ) k i i i  f x + = =   结论成立. 注 由于(6)式中当 时即为凸函数的定义式(1),所以詹森不等式(6)也可用来作为凸函数 的定义,而詹森不等式的应用也就是凸函数的应用． 对具体的函数套用 Jensen 不等式的结果, 可以证明一些较复杂的不等式. 这种证明不等式 的方法称为 Jensen 不等式法或凸函数法. 具体应用时, 往往还用到所选函数的严格单调性. 例 4 证明: 对 x, y  R, 有不等式 ( ) 2 1 2 x y x y e  e + e + . 例 5 设 0 i x  ( 1, 2, , ) i n = ,则 1 2 1 2 1 2 1 1 1 n n n n n x x x x x x n x x x + + +   + + + 当且仅当所有 i x 全相等时等号成立. 证 所有 i x 全相等时,等号显然成立.只须证 i x 不全等时,有严格不等号成立即可