《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 取fx)=-nx,则f在(0，+o)上严格凸，由例4知 -n+++<2-lnx)=-乐两.x广 n h+无++五>n丙式 即 n 因lhx严格增，故有 +5++x>.X n 1 又x不全等→不全等，故 所以 琴喻 例6在AABC中，求证smA+smB+smC≤3 解考虑函数fx)=sinx,0≤x≤π.”=-sinx<0,0<xπ.→snx在 区间(0，π)内凹，由Jensen不等式，有 .n10:“g=号=号 3 3 snA +snB +sincs 2 例7己知a,b,ceR*,a+b+c=1.求证 /3a+7+/3b+7+/3c+7≤6 解考虑函数fx)=F,f(x)在(0，+o)内严格上凸.由Jensen不等式，有 V3a+7+/3b+7+3c+7_f3a+7)+f(3b+7)+f(3c+)s 3 3《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 9 取 f x x ( ) ln = − ,则 f 在 (0, ) + 上严格凸,由例 4 知 1 2 1 1 2 1 1 ln ( ln ) ln( ) n n i n i x x x x x x x n n − = + + + −  − = −  即 1 2 1 2 ln ln n n n x x x x x x n + + +  因 ln x 严格增,故有 1 2 1 2 n n n x x x x x x n + + +  又 i x 不全等  1 i x 不全等,故 1 1 1 2 1 1 1 1 ln ( ln ) ln n n i i n i i n x n n x x x x = = −  − = −   所以 1 2 1 1 n n n i i n x x x = x   例 6 在⊿ ABC 中, 求证 2 3 3 sin A + sin B + sin C  . 解 考虑函数 f (x) = sin x, 0  x  . f  = −sin x  0 , 0  x  .  sin x 在 区间 ( 0 , ) 内凹, 由 Jensen 不等式, 有 2 3 3 sin 3 3 ( ) ( ) ( ) 3 sinA sinB sinC  = =      + +  + + = + +  A B C  f f A f B f C . 2 3 3  sinA + sinB + sinC  . 例 7 已知 , ,  , + + =1 + a b c R a b c . 求证 3 7 3 7 3 7 6 3 3 3 a + + b + + c +  . 解 考虑函数 3 f (x) = x , f (x) 在 ( 0 , +  ) 内严格上凸. 由 Jensen 不等式, 有  + + + + + = + + + + + 3 (3 7) (3 7) (3 7) 3 3 7 3 7 3 7 3 3 3 a b c f a f b f c