且满足下面两个条件:①集合G中任意两个变换的乘积 埃尔明根纲领的提出,正意味着对几何认识的深化 仍属于G;⑧集合G中每个变換必有其逆变换,而且这它把所有几何化为统一的形式,使人们明确了古典几何 个逆变换也属于G,则称G为M上的一个变换群。 所研究的对象;同时显示出如何建立抽象空间所对应几 若从一个已知变换群G中取出一部分变换,其全体何的方法,对以后几何的发展起了指辱性的作用,故有 也构成一个变换群G1则称G1为G的一个变换子程 深远的历史意义。 由定义易知:平面上或空间中的运动集、仿射变换 参考书目 群、仿射群射影群等等;运动群是仿射群的一个子群,运193,、陈奕培编:“射影几何,高等教育出版社,北京, 集、射影变换集等等各构成一个变换群,分别称为运动方德者 动群和仿射群都是射影群的子群。 苏步青编:《高等几何讲义≯,上海科学技术出版社,上海 1964 给定空间M和它的一个变换群G,若在G中有一个 (方植) 变换,把图形a变到图形b则称a与b是等价的。从变A' ermine 换群的定义可推出: 埃尔米特,C.( Charles hermite1822~1901) 若图形a与图形b等价则图形b也与图形a等法国数学家。1822年12月24日生于法国洛林,1901年 价事实上,若图形a与b等价,则群G中必有一变换T 1月14日卒于巴黎。1842年秋 使T(a)=b;于是Tb)=a,然而·属于G,这表明, 入巴黎综合工科学校。1847年 G中有一变换把b变到a,因此,b与a等价。 通过学土学位的考试。1848年 若两个图形a和b都与第三个图形c等价,则a 任巴黎综合工科学校的教师。 与b也互相等价。事实上,若a与c等价,则群G中必 1856年被选为法国科学院院 有变换T使T(a)=C;又若b与c等价,则G中必有变换 士。1869年成为巴黎综合工科 S使S(b)=c,从而S"(c)=b,因此,ST(a)=b,所以 学校和巴黎理学院教授。他还 图形a与b等价。 是许多国家的科学院的荣誉 不文量克莱因把空间M中图形的等价性质称为几 何性质或不变性质,而且把几何性质与在已知群G中任 埃尔米特是继AL柯西 意变换下不变的量结合起来,这些不变量显然是一切等之后法国杰出的分析学家。他的主要工作是:证明了 图形所共有的。在某一群G中一切变换下的所有不变e的超越性及用椭圆函数解一般五次方程。他对代数型 性质称为从属于G的性质,研究从属于G的性质的几何理论、二次型的算木理论、椭圆函数论和阿贝尔函数论均 称为从属于G的几何。 有重要贡献。有许多以他名字命名的成果,如埃尔米特 克莱因的思想克莱因把各种几何看作是研究它们型、埃尔米特矩阵埃尔米特多项式。他的主要著作收集 所从属的各种群的不变性质的理论,使得在19世纪80在4卷本的《埃尔米特著作集》1905~1917)中,由.皮 年代所发现的各种几何之间显示出更加深刻的联系,他卡编辑出版 (李炳仁) 在著名的《埃尔朗根纲领》里提出了这个群论观点。在 这里引出了技照变换群来进行几何分类的思想一 At'ermlte chazhi duoxiongshl biln 量性质,研究度量性质的几何叫做度量几何(欧氏几m游插值多项式逼近( approximation by 埃尔朗根纲领思想。例如:经过运动不变的性质就是度埃尔米 e interpolation poly nomials)埃尔米 何);经过仿射变换不变的性质就是仿射性质,研究仿特插值是一种常见的插值方法。假设在区间[a,b上给定 射性质的几何叫做仿射几何;经过射影变换不变的性质了n个互不相同的点x1,x…,x以及一张数表 就是射影性质,研究射影性质的几何叫做射影几何,等 等。在运动群之下,距离、角度、面积、平行性、单比、交比 3°),B1),…,y-1), 都保持不变;在仿射变换下,距离、角度、面积都改变,但 同方向线段的)单比、平行性、共线性、交比,则保持不 变;对射影群来说,单比、平行性都改变,但共线性、交比记m一a+吗+…+《。早在1878年C.埃尔来特就证 保持不变。这是因为运动群是仿射群的一个子群,而仿·明:存在唯一的次数不高于m-1的代数多项式H(x), 射群是射影群的一个子群 使得 根据以上所述,在某一变换群之下的不变性质必是 H)(x)=3)(s-0,1, 它的子群的性质,但反过来未必成立,就是说,群越大则常称H(x)为表(…)的以{x},为结点组的埃尔米特 其几何内容越少群越小,则其几何内容越多。例如,在插值多项式。如果定义在[b上的函数∫(x)在x(k 欧氏几何中可以讨论仿射性质(单比、平行性等)而在仿1,2…n)处有呸2-1阶导数,并取y)一f(x),则 射几何中讨论某些度量性质(如距离、角度等)是没有意称相应的H(x为∫x)的以{x}t为结点组的(a 冖)阶埃尔米特插值多项式。作为特殊情况,若