是L(R,(x)dx)到L(n,w(x)dx)有界算子的充分必 要条件也是为A权(10与常数C,使 A,条件。所谓(x)满足A条件(1<<∞)是指存在得 常数C,使不等式 (QTJ x)dx)(())() ( "dx "<( (cx)) 对R中所有的方块Q成立。这条件的意思是在Q的对中的所有方块成立这一性质在近代偏微分方程 理论中有重要的应用。 平均值与在的均值的1次幂的乘积是有A权是近代调和分析的一个重要工具。 界的。对p=1,所谓(x)满足A1条件,是指不等式 参考书目 ..1[() dxs Cess inf .1J( x) dx Cessinf() B. Muckenhoupt, Weighted Norm Inequalities for the Hardy Maximal Function, Trans. Amer. Math. Soc.. Vol. 对R中的所有方块Q成立,式中C与Q无关这思是.. Coifmanl and Fefferman Weighted Norm In equalities for Maximal Functions and Singular Integrals, 8后,所(x)满足A条件,是指存在常数C与a.220,197 是等式(1)的极限情形。 (邓东) 0,使得对中的任意方块Q以及Q中的任意勒贝Abee 格 可测集E有 阿贝尔,nh.(Niels Henrik Abel1802~1829) (x)dx c() 挪威数学家,近代数学发展的先驱者。1802年8月5日 (x)dx 生于芬岛一个牧师家庭,1829年4月6日卒于弗鲁兰 13岁入奥斯陆一所教会学校学 式中|E|表示E的勒贝格测度。这条件的意思是指用习,年轻的数学教师B.M.霍 (xdx定义的测度,与勒贝格测度在某种意义下是可尔姆博发现了阿贝尔的数学天 比较的。如果a(x)满足A条件,就说(x)是一个才,对他给予指导少年时,阿 权。全体A权构成的函数集合也用A表示。197年,贝尔就已经开始考虑一些数学 穆肯普特首先证明了,若T是哈代-李特尔伍德极大问题。1821年在一些教授资助 函数M 下,入奥斯陆大学。在学校里 'Mf)= suPTQTJ. (y)[dy, 他几乎全是自学,同时花大量 则M(f)是(x)d)到r,(x)dx)的有界算了用根式求解824年,他解决 时间作研究 五次方程的不可 子的充分必要条件是是A权(1<p<∞)后来,RA.能性问题。为了能有更多的读者,他的论文以法文写成 亨特、穆肯普特、R.L.惠登、R.R.科伊夫曼与C.费也送给了C.F.高斯,可是在外国数学家中没有任何反 弗曼等人证明了一般的考德伦赞格蒙奇异积分算子响。1825年,他去柏林,结识了A.L克雷尔,并成为好 1
他鼓励克雷尔刨办了著名的数学刊物《纯粹与应用数取而得,并给出抛物线、椭圆、双曲线、正焦弦等名称。书 学杂志》。第1卷(1826)刊登了7篇阿贝尔的文章,其中中已见坐标制思想的端倪。他以圆锥体底面直径作为横 有一般五次方程用根式不能求解的证明。以后各卷也有坐标,过顶点的垂线作为纵坐标。这给后世坐标几何的 很多他的文章。1826年阿贝尔到巴黎,遇见了A.-M 建立以很大的启发 勒让德和AL柯西等著名数学家。他写了一篇关于椭 阿波罗尼奥斯还有好几种著作。他在《取火镜》中证 圆积分的论文,提交给法国科学院,不幸未得到重视,他明了平行光线投影在凹球面镜上,反射光线并不集中在 只好又间到桕林。克雷尔为他谋求教授职位,没有成功。球心,抛物面镜才有这种聚焦的性质。在《相切》一书 827年阿贝尔贫病交迫地回到了挪威,靠作家庭教师维中他提出后来被称为“阿波罗尼奥斯问题”的有名作图 生。直到阿贝尔去世前不久,人们才认识到他的价值 题:作一圆与三已知圆相切。他在天文学方面也颇有建 828年,四名法国科学院院士上书给挪威国王,请他为树,证明了求行星留点的方法,成功地将几何学应用于 阿贝尔提供合适的科学研究位置,勒让德也在科学院会天文 议上对阿贝尔大加称赞。次年4月6日,不到27岁的阿 (梁宗巨) 贝尔就病逝。柏林大学邀请他担任教师的信件在他去世 Abu Wafa 后的第二天才送出。此后荣誉和褒奖接踵而来,1830年阿布·瓦法(Abal-wafa·约940~997/998) 他和C.G.J.稚可比共同获得法国科学院大奖。 阿贝尔在数学方面的成就是多方面的。除了五次力 中世纪阿拉伯数学家、天文学家。940年6月10日生于 布冉(现属伊朗东北蛋腊散省),长期在巴格达工作,直到 程之外,他还研究了吏广的一类代数方程,后人发现这是去世。他把古希腊数学家欧几里得、丢番图等人的著作 具有交换的伽罗瓦群的方糇。为了纪念他,后人称交換译成阿拉伯文并作注解,还注释过花拉子术的数学著作 群为阿贝尔群。阿贝尔还研究过无穷级数,得到了一些他有两部数学著作传世。一为《办事人员和官员必读的算 判别准则以及关于幂级数求和的定理。这些工作使他成书》,书中用很大篇幅来讲述分数计算,也有面积计算 为分析学严格化的推动者 题。另一部为《几何作图工匠必读》其中有平面图形、多 阿贝尔和雅可比是公认的椭圆函数论的奠基者。阿边形的作图方法阿布·瓦法在数学方面的重要成就是在 贝尔发现了椭圆函数的加法定理、双周期性、并引进了椭三角学方面,这些成就集中在他所著《天文全书》之中,此 圆积分的反演。他研究了形如R(x,)ax的积分(现书与吉希腊托勒密所著《天文学大成》极相类似。书中有 关于正弦的半角公式、倍角公式,并且给出了正弦加法定 称阿贝尔积分),其中R(x,y)是x和的有理函数,且存理的一种新的证明与巴塔尼同时引入正切和余切的定 在二元多项式∫使∫(x3)=0。他还证明了关于上述积义井由他自已引入了正割和余割的概念;给出了间隔为 分之和的定理,现称阿贝尔定理,它断言:若干个这种积15的正切函数表,还用新的方法给出了间隔为15的正 分之和可以用9个这种积分之和加上一些代数的与对数弦函数表计算1/2度的正弦值精确到12位小数y关于球 的项表示出来,其中9只依赖于f,就是∫的亏格。阿贝面三角法,他给出了任意三角形的正弦定理的新证法。 尔这一系列工作为椭圆函数论的研究开拓了道路,并深 刻地影响着其他数学分支。C.埃尔术特曾说:阿贝尔留 Adama (杜石然) 下的思想可供数学家们工作150年 (冯宁)阿达马,J($.)( Jacques- Salomon hadamard Aboluoni'aosl 1865~1963)法国数学家。1865年12月8日生于 凡尔赛,1963年10月17日卒于巴黎。1888年毕业于巴 阿波罗尼奥斯( Apollonius约公元前262~约前黎高等师范学校。先后在巴黎布丰中学、波尔多理学院 190) 常与欧几里得、阿基米德合称为古希腊亚历山和巴黎大学理学院任职。1909 大前期的三大数学家。生于小亚细亚南岸的佩尔加,年年到法兰西学院任教,一直到 轻时在亚历山大跟从欧几里得的门徒学习,以后就在那休(1937)。他长期在巴黎综 里教学。曾访问帕加马王国(小亚细亚西北),在那里新建合工科学校和中央学校兼职任 的大学和图书馆工作过。他的巨著《圆锥曲线论》是古代教,并在法兰西学院创办了 世界的光辉科学成果,它将圆锥曲线的性质网罗殆尽,几个着名的讨论班。1912年被选 乎使后人没有插足的余地。直到17世纪的B.帕斯卡和为法国科学院院士。他还是苏 R.笛卡儿才有新的突破。 联、美国、英国、意大利等国 《圆锥曲线论》共8卷,前4卷的希腊文本和其次3的科学院院士或皇家学会的会 卷的阿拉伯文本保存了下来,最后一卷遗失。此书集前员以及许多国家的名誉博士 人之大成,且提出很多新的性质。他推广了梅内克缪斯 他早期就致力于把A.-L树西在分析学上的局部 公元前4世纪中,最早系统研究圆锥曲线的希腊数学理论推广到全局在复域里其博土论文《泰勒级数所定义 家)的方法,证明三种圆锥曲线都可以由同一个圆锥体截的函数的解析开拓》(1892)第一次把集合论引进复变画
数论,更简单地重证了柯西有关收效半径的结果;并探索A' erous! 了奇点在收效圆上的位置及其性质,从而使收效圆外 阿尔福斯,LV.( Lars valerian Ahlfors 解析开拓更切实可行。这些成果至今仍是复变函数论的1907 )著名数学家。1907年4月18日生于 基本内容。他和他学生S.曼德尔勃罗伊合著《泰勒级数芬兰赫尔辛基1930年在赫尔辛基大学获博士学位。1932 及其解析开拓》1901)已成为经典著作他在研究函数的年起先后在赫尔辛基大学和哈佛大学任副教授,1938年 极大模时得到了著名的三圆定理,并应用到整函数的装回赫尔辛基大学任教授。第二次世界大战后去美国 勒级数系数极大模的衰减和这个函数的亏格间的关系直在哈佛大学任教授。1953年当选为美国国家科学院院 上,完善了H庞加莱的结果,获得了1892年法国科学士阿尔福斯的主要贡献是在单复变函数论方面。1929年 院大奖。他还证明了黎受《函数的亏格为零(1896),对解决当儒瓦猜想(整函数的不同的有限渐近值的个数不 黎曼猜想的解决作出了贡献。证明了素数定理,即 大于整函数的阶的2倍),1935年建立覆盖面理论,因而 (nlog n 获I936年首次颁发的齋尔兹奖。后来他转向黎曼曲面 的研究,1981年因在几何函数论方面的有效新方法的创 而建立解祈数论的基础。在实域里,他的贡献体现在常立和根本性的发现而荣获沃尔夫奖。他是迄今为止获得 微分方程定性理论、泛函分析线性二阶偏微分方程定解上述两项世界数学最高奖的仅有的两个人之一(另-一人 可題和流体力学上。在常微分方程方面,他用不同的方是小平邦彦)。他的主要著作有《复分析》第2版,1966; 法稍后于A.M.李亚普诺夫独立地证明了有关稳定性的中译本,1984) (张莫宙) 结果。庞加莱的定性理论就是把常微分方程柯西问题的 局部结果推广到全局。阿达马认为这个推广之所以成为 Ajlmlde 可能,是因为庞加莱得到E.伽罗瓦用群处理代数方程解阿基米德( Archimedes约公元前287~前212) 的思想的启示,这种思想使他关心并重视泛函分析工古希腊伟大的数学家、力学家。生于西西里岛的叙拉古, 作,他在线性泛函的表示问题上的结果,开创里斯定理的卒于网地。早年在当时的文化中心亚历山大跟随欧几里 先河。1808年他关于泛函微商问题的论文获巴黎科学院得的学生学习,以后和亚历山 奖,他在这篇论文中得到了Δa=0的格林函数的一个非大的学者保持紧密联系,因此 线性积分方程的重要成果,他注意到这个方程与边界s他算是亚历山大学派的成员。 有关,而与方程无关,这至今还是泛函分析的一个重要课后人对阿基米德给以极高的评 題。他的《变分学教程》一书奠定了泛函分析的基础。1920价,常把他和L牛顿、C.F高 年在泛函分析会议上作的报告《泛函分析所起的科学作斯并列为有史以来三个贡献最 用》是有影响的文献。他的行列式定理在E.I弗雷德霍大的数学家。他的生平没有详 姆的证明中屠重要地位。在偏薇分方程方面,他坚持柯西细记载,但关于他的许多故事 提倡的定解冋题方向,明确了定解问題的含义,完善了适却广为流传。据说他确立了力 定性的要求。他得出根据二阶方程的特征表达式分型(椭学的杠杆定律之后,曾发出豪 圆、双曲、抛物)的结论。那么,这三个型方程有没有共同言壮语:“给我一个立足点,我就可以移动这个地球”叙 点呢?阿达马提出了一般方程基本解的概念。有了基本拉古的亥厄洛王叫金匠造一顶纯金的皇冠,因怀疑里面 解,模双曲型方程的柯西问题的解,只要支柱是空向的,摻有银子,便请阿基米德鉴定一下。当他进入浴盆洗澡 已给数据适当正规,就可以用一个发散积分的有限部分时,水漫溢到盆外,于是悟得不同质料的物体,虽然重量 来表示椭圆型方程就可以形戎势代表解,并通过这个势相同,但因体积不同,排去的水也必不相等。根据这一 满足的弗雷德姆型积分方程求得狄利克雷问题的解。道理,就可以判断皇冠是否掺假。阿基米德高兴得跳起 间接地求抛物型方程的基本解的步骤,也是由阿达马提来,赤身奔回家中,口中大呼:“无里卡!尤里卡!”(希 出来的。他不愧为线性二阶偏微分方程理论的总结者、腊语epηkα,意思是“我投到了")他将这一流体静力 奠基者和开拓者。在流体力学方面的工作,大都包含在学的基本原理,即物体在液体中减轻的重量,等于排去 《波的传播教程》一书里。在书中,他通过有关定解问题的液体的重量,总结在他的名著《论浮体》中,后来以 讨论,说明引进波的概念的必要性,对D.希尔伯特的重“阿甚米德原理”若称于世。第二次布匿战争时期,罗 要工作,进行简化和增补,对特征理论做了详尽的讨论,马大军围攻叙拉古,阿甚米德献出自己的一切聪明才智 从而指出方程组和单个方程有本质的不同,并在附录中为祖国效劳。传说他用起重机抓起敌入的船只,摔得粉 指出流体滑动的可能性。这些都在后来的气动力学大范碎发明奇妙的机器,射出大石、火球。还有一些书记 图研究中起作用 载他用巨大的火镜反射日光去焚毁敌船,这大概是夸张 阿达马1936年曾来中国清华大学讲学三个多月。的说法总之,他曾竭尽心力,给敌人以沉重打击。最后叙 1964年在中国出版了他的著作《偏微分方程论》。 拉古因粮食耗尽及奸细的出卖而陷落,阿基米德不幸死 吴新谋) 在罗马士兵之手流传下来的阿基米德的著作,主要有下
列几种。《论球与圆柱》,这是他的得意杰作,包括许多重拉伯文为主要文字写成的数学著作所代表的数学。为阿 大的成就。他从几个定义和公理出发,推出关于球与圆柱拉伯数学作出贡献的数学家,就其各自的民族而言,并 面积体积等50多个命题。用几何方法解决相当于三次方不限于是阿拉伯人。这些阿拉伯数学著作都是手抄本, 程x2(a一x≌b的问题。《圆的度量》,计算圆内接与外其中有不少辗转流传至今,收藏在世界各地的图书馆和 切96边形的周长,求得圆率x3<x<32《劈锥博物馆中 阿拉伯数学,伴随着整个中世纪阿拉伯科学的兴衰, 曲面与旋转椭圆体》,研究几种圆锥曲线的旋转体,以及大致上可以划分为三个时期 这些立体被平面截取部分的体积。在引理中给出公式 从8世纪到9世纪中旰,阿拔斯王朝在巴格达创办 12+22+32+…n2=1/6n(n+1)(2n+1)。《论螺线》利用“智戇之宫”,其中附设有天文台和图书馆,在这里集 一组内接和一组外接的扇形,确定“阿基米德螺线"(现用中了许多来自波斯、叙利亚、埃及和印度的学者。这一时 极坐标方程r=来表示)第一圈与始线所包围的面积期是以翻译为主的数学知识传入时期。最先是欧几里得 等于π(πa)·/3。《抛物线图形求积法》,确定抛物线与任的《几何原本》,不久,印度数学家婆罗摩笈多的著作也被 一弦所围弓形的面积。《平面图形的平衡或其重心》从几翻译成阿拉伯文。随后阿基米德、阿被罗尼奥斯、丢番图 个基本假设出发,用严格的几何方法论证力学的願理,求托勒密等古希腊数学家的著作也相继被详成阿拉伯文。 出若干平面图形的重心《数沙者》,设计一种可以表示任这时期的著名数学家是花拉子米。他除了译注工作之 何大数目的方法,纠正有的人认为沙子是不可数的,即使外,还编写了著名的《阿尔热巴拉和阿尔穆卡巴拉》意 可数也无法用算术符号表示的错误看法《论浮体》,讨论为“还原与对消的科学")、《花拉子米算书》(在许多拉丁 物体的浮力,研究了旋转抛物体在流体中的稳定性。阿基文科学著作中以' iber Algorismi而闻名)等著作,现在 米德还提出过一个“群牛问题",含有八个未知数。最后人们常用的“代数学”( Algebra)和“算法”( algorithn) 归结为一个二次不定方程x2-4729494y2一1。解的数个名词即来源于这两部著作的书名 字大得惊人,共有二十多万位!阿基米德当时是否已解 世纪中叶到13世纪是阿拉伯数学的兴盛时期。其 出来頗值得怀疑。除此以外还有一篇非常重要的著作,间在巴格达、布哈拉、开罗以及西班牙境内的科尔多瓦和 是一封给埃拉托斯特尼的信,内容是探讨解决力学问题托莱多等地,出视了许多学术研究中心,这一时期的著 的方法。这是1906年丹麦语言学家JL海贝格在土耳其名数学家有:巴塔尼、阿布·瓦法、卡拉基、比鲁尼、 伊斯坦布尔发现的一卷羊皮纸手稿,原先写有希腊文,后海亚姆、纳西尔了·图西、班纳等人 来被擦去,重新写上宗教的文字。幸好原先的字迹没有擦 14世纪后,除15世纪在帖木耳王朝的撒马尔干天文 于净,经过仔细辨认,证实是阿基米德的者作。其中有在台和在此工作的卡西外,整个阿拉伯数学处于落期。 处看到的内容,也包括过去一直认为是遗失了的内容 阿拉伯数学的主要成就在算术方面有;十进位值制 后来以《阿基米德方法》为名刊行于世。它主要讲根据力数码、笔算(这两项均受到印度影响)、开高次方、若干级 学原理去发现问题的方法。他把一块面积或体积看成是数的求和公式等在代数方面有:-次和二次方程解法(方 有重量的东西,分成许多非常小的长条或薄片,然后用已程两端的移项、合并)、三次方程的几何解法、二项展开式 知面积或体积去平衡这些“元素”,找到了重心和支点,所的系数表等。几何方面有:欧几里得《几何原本》的译注 求的面积或体积就可以用杠杆定律计算出米。他把这种关于平行公理问题的探讨圆周率的计算(卡西曾算至小 方法看作是严格证明前的一种试探性工作,得到结果 数第16位)等。三角法方面也比古希腊和印度完备。 后,还要用归谬法去证明它。他用这种方法取得了大量辉 从12世纪时起,阿拉伯数学通过北非的地中海沿岸 煌的成果阿基米德的方法已经具有近代积分论的思想。向西的文化走廊逐渐传入西班牙和欧洲。特别是十进位 然配他没有说明这种“元素”是有限多还是无限多,也没值制数码、笔算、《几何原本》的译本等等,对西欧以至对 有摆脱对几何的依赖,更没有使用极限方法。尽管如此,后来整个世界数学的发展产生了重要影响。中国古代数 他的思想是具有划时代意义的,无愧为近代积分学的先学的某些内容〔十进位值制记数法、比例问题、不定方程 驱。他还有许多其他的发明没有一个古代的科学家,象二项展开式系数表、高次开方法、盈不足术等)也传入阿 阿基米德那样将熟练的计箅技巧和严格诳明融为一体,拉伯(有些则是先经由印度)并通过阿拉伯数学再传入 将抽象的理论和工程技术的具体应用紧密结合起来。 欧洲 参考书目 但是,阿拉伯数学著作中的绝大部分并未被译成拉 Archimedes,The环 orks of Archimedes with the Method丁文而传入欧洲,只是到了19世纪以后,阿拉伯数学的 of archime Dover, New York. 1912 果宗巨) 许多内容才逐渐被整理出来阿拉伯数学吸收了古希腊 印度、中国和本地区的古代数学成果,融汇东西方古代数 Alaba shuxue 学于一身,西传之后,对文艺复兴以后世界数学的发展 阿拉伯数学( mathematics in Arab 指中产生了积极的影响。另外,阿拉伯数学对比较数学史的 世纪在中东、北非以及西班牙等地的伊斯兰国家里,以阿研究来说也是很重要的 杜石然
At 记数法;整数的运算法则自然数平方,立方等求和公式; 阿廷,E( Emil Artin1898~1962)奥地利数分数约分和通分法则;三率法,算术数列,三角垛等算术 学家。1898年3月3日生于维也纳。在维也纳大学学习问题,假设法,逆推法和特殊的线性方程组解法及一次 学期后,被征入伍,直到1919 不定方程(组)解法;从利息问题引进的二次方程求根公 年1月才在莱比锡大学继续其藝 直线形面积公式;还明确提出了勾股定理并借此解决 学业,并在G.赫格洛茨指导 在弓形中弦矢关系以及相交两圆的弦矢关系问题。他指 下于1921年获得博士学位。其 出圆的六分之一弧所对弦等于半径;圆面积等于半圆周 后在格丁根大学学习一年,又 与半径的乘积;他还提出100加4,乘以8,加上62000 汉堡大学。1923年任讲师, 是直径20000的圆周近似长,这就相当于说π±3.1416 25年任副教授,1926年任 对几何体也提出了许多体积公式,但有些是错误的。例 教授。1937年移居美国。先后 如误以为三棱锥体积是底面积与高乘积之半,球体体积 在圣母大学(1937)、印地安那 又误以为是大圆面积与其平方根的乘积。在三角学方面 大学(1938~1946)、普林斯顿 阿耶波多还改进了希腊托勒密的工作,用几何方法计算 大学(1946~1958)工作。1958年回汉堡大学,1962年1z正弦表Esin0,其中θ从3·45至90°,每隔3°45·列 月20日病逝。 值,并取R=3438 阿廷的工作分两个时期。前期(1921~1931)主要是 公元10世纪时印度还有一个名为阿耶波多的数学 在奥城论、实域理论、抽象代数等方面。在此期间,他和家,在数学史上称为阿耶波多第二。 E.诺持以及他们的学派极大地推动了抽象代数学的发 1976年,为纪念阿耶被多第一诞生1500周年,印度发 展。后期(1940~1955主要是在环论、伽罗瓦理论代数射了以阿耶波多第一命名的第一颗人造卫星 数论中的类数问题及拓扑学的辫子理论方面 (沈康身) 阿廷的博士论文明确地把二次数城的经典理论通过A' erionggen gangl 类比移到特征为P(奇素数)的数域上的有理函数域的二埃尔朗根纲领( Erlangen program)1872年 次扩张上。从而他猜想相应的『函数黎憂猜想也成立。F克萊趴在埃尔朗根大学的教授就职演讲时,操出题 这个猜想对亏格为l的函数域在1836年由豇.啥寡证为《关于近代几何研究的比较》的论文,论述了变换群 明,一般情形被A.韦伊在1941年证明。1923年,他在在几何中的主导作用,把到当时为止已发现的所有几何 高木奭治工作的基础上表述一般互反律并在1927年完统在变换群论观点之下,明确地给出了几何的一种新 成证明,这是类域论的重大突破。借助于一般互反律,阿定义,把几何定义为一个变换群之下的不变性质。这种 廷把主理想猜想化为群论问題,对此PH.富特文格勒在观点突出了变换群在研讨几何中的地位,后来简称为埃 1930年给出证明。弥永昌青在1934年给出更简单的证尔朗根纲领。 明。这就完成了类域论的体系,开辟了非阿贝尔类域论 几何变擾给定任意几何对象的集合M,约定把集 的道路。阿廷于1951~1952年与J.T.塔特合写的《类合M叫做空间。把M中的每个几何对象(或称为元素)变 域论》的讲稿中,提出了类结构的概念,应用群的上同啁到另一个几何对象上的过程称为M上的一个几何变换 理论,进一步将类域论公理牝和统一化。从1924年起,简称变换。以a表示某一几何对象或由许多对象所构成 阿廷开始实域的研究,1926年建立抽象的实域理论(与的图形,以T表示一个几何变换,则在T之下把a变到另 O.施赖埃尔合作),并在1927年解决了希尔伯特第17问一个对象或图形b,记作Ta)=b,b称为a的像,称为 题。1927年和1945年他建立阿廷环理论,这是J.H.M.b的像源 韦德伯恩代数构造论的重要推广。在拓扑学方面他从 另取一个变换8作用到b上,设S(b)c,若这两个 1925年开始并在1947年建立丁辫子理论。他的论文收变换连续作用,则a变到c,所以a变到c的过程也是 集在《阿廷文集》(1965)中。 胡作玄) 个变换,记作P即P(4)=CP称为S和T的乘积,记作 P=ST变换乘积的次序一般是不可交换的,即理≠TS 若有三个变换T、S、E,先作用T其次作用S,最后 阿耶波多第一( Aryabhata I476~550) 作用,其结果是ES,这个记号表示作用的次序是从右 印度数学家、天文学家。公元476年生于华氏城(今属边到左边。变换乘积的结合律是成立的:(RST-R(s 比哈尔邦巴特那市)。他受教育于柯苏布罗城,499年著RSY。 《阿耶波多文集》此书长期失传,至1864年印度学者勃 若变换T,使得每个元素b都是唯一的某个元素 豪·丹吉始获抄本。阿耶波多另一记载天文仪器的《阿的像,则称T为一对一的变换,这时,T有确定的逆变换, 耶波多历数书》近年才被发现。 记作,里与T‘的乘积保持每个元素都不动,也就足 《阿耶波多文集》共有诗121行,分颂辞数学历法天恒等变换,记作E即TT=TT=E 球等4篇。其中第2篇论数学共有诗33行,主要内容为 史談群设G为M上的有限或无限个变换的集合
且满足下面两个条件:①集合G中任意两个变换的乘积 埃尔明根纲领的提出,正意味着对几何认识的深化 仍属于G;⑧集合G中每个变換必有其逆变换,而且这它把所有几何化为统一的形式,使人们明确了古典几何 个逆变换也属于G,则称G为M上的一个变换群。 所研究的对象;同时显示出如何建立抽象空间所对应几 若从一个已知变换群G中取出一部分变换,其全体何的方法,对以后几何的发展起了指辱性的作用,故有 也构成一个变换群G1则称G1为G的一个变换子程 深远的历史意义。 由定义易知:平面上或空间中的运动集、仿射变换 参考书目 群、仿射群射影群等等;运动群是仿射群的一个子群,运193,、陈奕培编:“射影几何,高等教育出版社,北京, 集、射影变换集等等各构成一个变换群,分别称为运动方德者 动群和仿射群都是射影群的子群。 苏步青编:《高等几何讲义≯,上海科学技术出版社,上海 1964 给定空间M和它的一个变换群G,若在G中有一个 (方植) 变换,把图形a变到图形b则称a与b是等价的。从变A' ermine 换群的定义可推出: 埃尔米特,C.( Charles hermite1822~1901) 若图形a与图形b等价则图形b也与图形a等法国数学家。1822年12月24日生于法国洛林,1901年 价事实上,若图形a与b等价,则群G中必有一变换T 1月14日卒于巴黎。1842年秋 使T(a)=b;于是Tb)=a,然而·属于G,这表明, 入巴黎综合工科学校。1847年 G中有一变换把b变到a,因此,b与a等价。 通过学土学位的考试。1848年 若两个图形a和b都与第三个图形c等价,则a 任巴黎综合工科学校的教师。 与b也互相等价。事实上,若a与c等价,则群G中必 1856年被选为法国科学院院 有变换T使T(a)=C;又若b与c等价,则G中必有变换 士。1869年成为巴黎综合工科 S使S(b)=c,从而S"(c)=b,因此,ST(a)=b,所以 学校和巴黎理学院教授。他还 图形a与b等价。 是许多国家的科学院的荣誉 不文量克莱因把空间M中图形的等价性质称为几 何性质或不变性质,而且把几何性质与在已知群G中任 埃尔米特是继AL柯西 意变换下不变的量结合起来,这些不变量显然是一切等之后法国杰出的分析学家。他的主要工作是:证明了 图形所共有的。在某一群G中一切变换下的所有不变e的超越性及用椭圆函数解一般五次方程。他对代数型 性质称为从属于G的性质,研究从属于G的性质的几何理论、二次型的算木理论、椭圆函数论和阿贝尔函数论均 称为从属于G的几何。 有重要贡献。有许多以他名字命名的成果,如埃尔米特 克莱因的思想克莱因把各种几何看作是研究它们型、埃尔米特矩阵埃尔米特多项式。他的主要著作收集 所从属的各种群的不变性质的理论,使得在19世纪80在4卷本的《埃尔米特著作集》1905~1917)中,由.皮 年代所发现的各种几何之间显示出更加深刻的联系,他卡编辑出版 (李炳仁) 在著名的《埃尔朗根纲领》里提出了这个群论观点。在 这里引出了技照变换群来进行几何分类的思想一 At'ermlte chazhi duoxiongshl biln 量性质,研究度量性质的几何叫做度量几何(欧氏几m游插值多项式逼近( approximation by 埃尔朗根纲领思想。例如:经过运动不变的性质就是度埃尔米 e interpolation poly nomials)埃尔米 何);经过仿射变换不变的性质就是仿射性质,研究仿特插值是一种常见的插值方法。假设在区间[a,b上给定 射性质的几何叫做仿射几何;经过射影变换不变的性质了n个互不相同的点x1,x…,x以及一张数表 就是射影性质,研究射影性质的几何叫做射影几何,等 等。在运动群之下,距离、角度、面积、平行性、单比、交比 3°),B1),…,y-1), 都保持不变;在仿射变换下,距离、角度、面积都改变,但 同方向线段的)单比、平行性、共线性、交比,则保持不 变;对射影群来说,单比、平行性都改变,但共线性、交比记m一a+吗+…+《。早在1878年C.埃尔来特就证 保持不变。这是因为运动群是仿射群的一个子群,而仿·明:存在唯一的次数不高于m-1的代数多项式H(x), 射群是射影群的一个子群 使得 根据以上所述,在某一变换群之下的不变性质必是 H)(x)=3)(s-0,1, 它的子群的性质,但反过来未必成立,就是说,群越大则常称H(x)为表(…)的以{x},为结点组的埃尔米特 其几何内容越少群越小,则其几何内容越多。例如,在插值多项式。如果定义在[b上的函数∫(x)在x(k 欧氏几何中可以讨论仿射性质(单比、平行性等)而在仿1,2…n)处有呸2-1阶导数,并取y)一f(x),则 射几何中讨论某些度量性质(如距离、角度等)是没有意称相应的H(x为∫x)的以{x}t为结点组的(a 冖)阶埃尔米特插值多项式。作为特殊情况,若
诸k都为1,则H(x)就是∫x)的拉格朗日插值多项定结点组{x}1是取在开区间(-1,1中的,而2n+1 式,若n=1,则H(x)为∫x)的1-1阶泰勒多项式 次代数多项式Qn+1(x)满足条件 最使人们注意的是诸∝都为2的情况,这时H(x)为次 2m+1(f,x)=f(x)〔k=0,1,…,n+1 数不高于2-1的代数多项式。如果写 2n+1(f,xh)=0 u(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn), 这时,如取{x和}为X(x)的零点全体,则 W,(r) (a-xx0(E,) An(x)=(1 当然也可以考虑仅在一端插值的情况。然而,倘若将端 x))(x-石)l(x) 点作为结点,又会发生剧烈的变化。例如,取 则五〔x)可表示为 ,(a)= 2 yfo'A(x) 则以{xn}2为结点组的埃尔米特费耶尔插值多项式 序列E+x(,x),对于f(x)=x2这样好的函数,也会 在这种情况下,常取y=∫(x)(k=1,2,…,n),而给(-1,1)中处处发散。而取 y1)以适当的限制。这个想法大致起源于拉格朗日插值 xn=cosn+1(k=0,1,…,n+1) 多项式的研究。为了改善插值多项式的逼近度,需对其为结点组时,相应的Fn+(f,x)对于连续函数f(x)却有逼 导数作一定的要求 为了简单,考虑定义区间为[-1,1]的情况。L费耶近 阶 尔首先让-0,称 So(f,vxx 埃尔米特插值多项式可以从各方面扩充。例如,可以 在某些结点处放弃对某些阶导数的要求,这就是所谓伯 为函数∫(x)的埃尔米特费耶尔插值多项式。如果取切克夫插值。其中常见的是(0,2)插值也即对于给定的 比雪夫多项式Tn(x)=Os( n arc oos a)的零点全体为结结点组{xn)-1以及数组{akn}2-,;(Bn}-1,要确定 点组,则有绝对常数c使得对于[-1,1上的任一连续个次数不高于2n-1的代数多项式S2-1(x)使得 函数∫(x)都有 S2n-(xk)=“4n,S21-1(xn)=Bn, if(a)-Fn(f,x) k=1,2…,n)。当取hn=f ,考虑S2n-1(f,x) 对∫(x)的逼近,也可以考虑埃尔米特播值多项式对函数 nE o(NEx+k) 及其导数的同时逼近。例如,取 式中一1≤x≤1,(,为∫(x的连续性模。然而,用 F,x逼近∫(x)有其饱和性,逼近阶最多为1/若为结点,对于-1,1]上的可微函数,考虑 f(x)-F(,x)=o(n) H,(f,x ∫(xhn)Aa(x) 关于[-1,∏上的x均匀成立,则∫x)是个常数。但是对 于其他结点组,会有较大的差异。例如,取勤让德多项式 ∑f(xhn)(x-xkn)1n(x) X(r)2nt drn(xi-1)" 对∫(x及∫(x)的同时遘近。此时有 Hn(∫,x一f(x)]+|Hfx)-一fx)! 的零点全体为结点纽时,对于[一,1的连续函数 f(x),相应的F,x仅可能在(-1,1)中内闭一致收敛 于f(x),为了使n→∞时,(,x)在[-1,1上一致收敛至于对于无限区间或周期函数的情形,自然也可作类似 于f(x),充分必要条件是 的讨论,只是在周期的情形,有时插值三角多项式却未必 存在。 ∫(±1) f(t)dt 至于f(x)的(a12…1)阶埃尔米特插值多项式 这种在区向端点发生奇异的情况并非稀有,它促使人们Hn(x)对∫(x)的逼近,如果f(x)在[a,b上有m阶导数, 去改变端点的插值情况。P.图兰首先提出在区间端点则在[b中有与x有关的点使得 x。1,x=-1处取值与函数取值相同的要求。从而 构造了拟埃尔米特-费耶尔插值多项式Q2n+∫,x),即假 ∫(x)-H2(x)=f(),on(x
式中(x)=(x-x1)“1(x-x2)°2…(x-xn)°”。 4月16日生于柏林。中学时已独立进行数学研究。1843 (謝庭落) 年进入柏林大学学习的第一年,受到A.von洪堡、A.L Aijl gudai shuxue 埃及古代数学( ancient mathematics in Egypt) 内在克雷尔杂志上发表25霖 埃及是世界上文化发达最早的几个地区之一,位于尼罗篇论文,次年在CG.J.雅可Q 河两岸,公元前3200年左右,形成一个统一的国家。尼比的建议下,E.E.库尔搅 罗河定期泛滥,淹没全部谷地,水退后,要重新丈量居他布斯劳大学荣誉博士称 的耕地面积。由于这种需要,多年积累起来的测地知号,不久成为柏林大学讲师 识便逐渐发展成为几何学。 1848年参加革命活动,被捕并 公元前2900年以后,埃及人建造了许多金字塔 受迫害致使健康受损。1852 为法老的坟。从金字塔的结构,可知当时埃及人已憤年10月11日因肺结核在柏林 得不少天文和几何的知识。例如基底直角的误差与底面 早逝 正方形两边同正北的偏差都非常小(参见彩图插页第 艾森斯坦主要贡献是数论及有关的椭跏函数论。早 ) 期工作涉及三次、四次及高次互反律、三元二次型。后来 现今对舌埃及数学的认识,主要根据两卷用偕侣文研究椭圆函数论,目的也是研究高次互反律。艾森斯坦 写成的纸草书(参见彩图插页第7页);一卷藏在伦敦,级数是矸究模形式和模函数的重要工具。他的多项式不 叫做菜因徳纸草书,·卷藏在莫斯科。埃及最古老的文可约判别法是这方面的重要成果。晚年他研究三次型。 字是象形文字,后来演变成一种较简单的书写体,通常叫他的著作收集于《数学著作集》(1975)中 僧侣文。除了这两卷纸草书外,还有一些写在羊皮上或 胡作玄) 用象形文字刻在石碑上和木头上的史料藏于世界各地。A' ertel 两卷纸草书的年代在公元前1850~前650年之间,相当爱尔特希,P.( Paul Erdos1913 于中国的夏代 牙利数学家。1913年3月26日生于布达佩斯数学教师家 埃及很早就用十进记数法(见记数法),但却不知道庭,犹太人。从来没有固定的职位,也不定居在一个地 位值制,每一个较高的单位是用特殊的符号来表示的。例方。30年代在欧洲游历,第二次世界大战时期在美国度 如11,象形文字写成e∩1而不是将1重复三次。埃过。战后则在全世界旅行,与各国数学家共同研究数学 及算术主要是加法,而乘法是加法的重复。他们能解决 題。他是世界上多产的数学家之 已发表1000 些一元一次方程的问题,并有等差、等比数列的初步知多篇数学论文。工作领域包括数论、集合论、组合数学 识。占特别重要地位的是分数算法,即把所有分数都化图论、概率论及其应用、数理逻辑等。由于他在这些领 成单位分数(即分子是1的分数)的和。菜因德纸草书用域的杰出成就,以及他个人对全世界数学家的合作和推 很大的篇幅来记载2/n(n从5到I01)型的分数分解成单动,1984年获沃尔夫奖。他是匈牙利科学院院士。 位分数的结果。为什么要这样分解以及用什么方法去分 张奠宙) 解,到现在还是一个谜。这种繁杂的分数算法实际上阻,A' ershu 碍」算术的进一步发展。 奥尔斯姆,N.( Nicole Oresme约1325~1382) 纸草书还给出圆面积的计算方法:将直径减去它的法因数学家。约1325年生于卡昂附近,1382年7月11 1/9之后再平万。计算的结果相当于用3.1605作为圆周日卒于利雪。早年就学于巴黎大学。后在鲁昂和巴黎等 ,不过他们并没有圆周率这个概念。根据莫斯科纸草地教学。1362年任牧师。1377年成为利雪的主教。他 书,推测他们也许知道正四棱台体积的计算方法。总之,对数学的贡献是在《比例算法》约1360)中引人分指数的 古代埃及人积累了一定的实践经验,但还没有上升为系记法和一些使用规则,在《论质量与运动的结构》(约 统的理论 1350)等书中为研究变化和变化率萌发了坐标几何思想 参考书目 尝试用坐标确定点的位置,并用图像表示变化中的量, A. B. Chece. The Rhind Mathematical Papyrus, Ma 对R.箭卡儿创立解析几何产生一定影响。他的《欧几里 hematical Association of America, Oberlin. 1979. M. Cantor, V oriesungen uber Geschichte der M athe matik 得几何问题》(约1360)等著作给出若干无穷级数的求和 B. G. Teubner, Leipzig, 1922 问题,发展了古希腊学者有关的极限思想。此外,在对 O. Neugebauer. The Exact Sciences in Antiquity, BrowN“变化”的研究中也涉及物理学和哲学的一些基本观点 Univ. Press, Providence. 1957 如热的强度、远动原理等。 王青建) (宗巨 Aoma Halyomu 艾森斯坦,F,GM.( Ferdinand gotthold max奥马·海亚婚( Omar Khayyam约1048~1131 Eisenstein1823~1852)德国数学家。1823年阿拉伯数学家、天文学家。生于波斯胡拉桑州内沙布尔
卒于同地。早年受到良好的教育,爱好诗歌,他的一些诗巴黎,1828年返回俄国。1830年当选为彼得堡科学院院 集流传至今。曾在内沙布尔天文台工作,和其他学者 土。曾在彼得堡科学院和许多高等学校任教。 起对当时的历法进行了一次改革。奥1·海亚姆最著名 他是俄国理论力学学派的创始人和彼得堡数学学派 的数学蓍作是《代数问题的证明》其阿拉伯文手稿和拉的奠基者之一。其科学研究及分析学、理论力学、数学 丁文译本已保存下来,近代被译成多种文字。此书定义物理、概率论、数论和代数学等多方面。他最重要的数学 代数学为“解方程的科学”,这定义一直保持到19世纪末。工作是在I838年研究热传导理论的过程中,证明了关于 书中还首次给出了奥马·海亚姆所创立的一种借助圈锥三重积分和曲面积分之间关系的公式(现称为奥斯特罗 曲线解三次方程的方法,这是代数与几何桕结合的前驱格拉茨基-高斯公式,又称格林定理,C.F.高斯独立地证 工作他还斫究过二项式的展开、开方法则、比和比例等明过这个公式),1834年,他又把这一公式推广到n重 冋题。详注过欧几里得的著作,他的《对欧几里得几何原积分的情形。他还得到了二重积分与三重积分的变换公 本中困难公设的注释》一书对东方数学有过积极影响 式;建立了有理函数的积分法—奥斯特罗格拉茨基方 (枉瑞芝) 法给出了非保守系统的一般变分原理的某些结果,并推 Aositeluogeloci jl 广到变分学的一般等周问题;引进了共轭算子的概念,证 奥斯特罗格拉茨基,M.B.( MHxaH冮BacHπb·明了某些算子特征函数系的正交性。 CHRy OcTporpaIckH放1801~1862)俄国数学 在力学方面,他对球形射弹的飞行进行了大量的理 家、力学家。I801年9月24日生于帕先纳亚,1862年 论研究和实验,提出了偏心射弹在空中运动的微分方 月1日卒于波尔塔瓦早年在哈尔科夫大学学习,虽然成还研究了天体力学和分析力学,首次证明了关于可能位 绩优异,但由于不信教而未获得毕业文凭。1822年留学移原理和最小作用原理的广义定理 杜烏芝)
浮谢兵 貴弗受-施坦定理关于BMO空间的研究,特别要 B 提出费弗曼和施坦的下述结果:哈代空间H(B)的对偶 空间为BMO空间,记作(H)请=BMO。可以说,由于这 个事实的发现,BMO空间便成为调和分析的重要角色 应用由于BMO空间是H的对偶空间,因此许多 BMO konglin 涉及H的问题通过这个对偶关系可以用BMO空间的性 BMo空间( BMO space)有界平均振动空间质去处理,于是MO空间就成为研究H许多问题的 的简称。这是1961年由F·约翰和L尼伦伯格在研究个新工具。例如,研宄算子T从H到L的有界性,要建 椭圆型偏微分方程的解时所引进的一类函数空间。它包立不等式 含着空间L(B),又是哈代空间H()的对偶空间(见 lT(l≤A‖f HP空问)。设∫(x)为定义于B上的局部可积函数,@为由(U)L°、(H")一BMO以及关系式 F中边平行坐标轴的任一立方体,1Q!为其体积,∫(x) ∫。Tax-J,r((为T的共轭算子) 同fx)在Q上的平均值fa= r(x)dx的偏差用可知 f(x)-fql表示,它在Q上的平均值 If(x)-faldx lT(∫,≤Afla{sup(qp)ao} 叫做∫(x)在Q上的平均振幅。如果∫(x)满足条件 于是,为使关系式()成立,只须证明 sP1QJ。f(x)-fldxa}l≤A|Q|exp(-aa), 考虑T是否具有从L到BMO空间的有界性。在这种意 式中左边为勒贝格测度,那么∫∈BMO。约翰和尼伦伯格义下,BMO空间起到了代替L的作用。 指出上述不等式本质上可以用来刻画BMO空间的特征。 (陆善镇) 这就是存在着两正常数A和a,使得对于钰一f∈BMO, Babilun shu 立方体Q∈即,以及a>0成立不等式 巴比伦数学( mathematics in Babylon) l{x∈Q:(x)-J|>a≤Aexp(-a/fxo)。西亚美索不达米亚地区(即底格里斯河与幼发拉底河流 貴弗受一施坦分解 个涉及BMO空间构造特域)是入类早期文明发祥地之一。一般称公元前19世纪 征是由C.L.费弗曼和E.M.施坦给出的:f∈BMO当至公元前6世纪间该地区的文化为巴比伦文化,相应的 且仅当∫=+,此处、U∈L,为U的希尔伯特变换 数学属巴比伦数学。这一地区的数学传统上溯至约公元 这个事实表明,判断一个函数是否属于BMO空间,可以前二千年的苏美尔文化,后续至公元1世纪基督教创始 纯粹用调和分析的语言来表述与刻画。因此,这个事实时期。对巴比伦数学的了解,依据于19世纪初考古发据 也就成为揭示BMO空间和调和分析之间内在关系的组出的楔形文字泥板,有约300抉是纯数学内容的,其中 带,并且这方面的进一步研究成为当代调和分析的重要约200块是各种数表,包括乘法表、倒数表、平方和立方 研究课题之 表等
