北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第七章 线性变换（7.7）不变子空间

§7不变子空间

1 一、 不变子空间的概念 二、 线性变换在不变子空间上的限制 三、 不变子空间与线性变换的矩阵化简 四、 线性空间的直和分解

、不变子空间 1、定义 设σ是数域P上线性空间ⅴ的线性变换,W是V的 的子空间,若v5∈W,有(5)∈W(即a(W)sW) 则称W是σ的不变子空间,简称为σ一子空间 注 V的平凡子空间(Ⅴ及零子空间)对于Ⅴ的任意 个变换σ来说,都是σ一子空间

2 设  是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的 的子空间，若   W , 有    ( ) ( )   W W W (即 ) 则称W是  的不变子空间，简称为  －子空间. V的平凡子空间（V及零子空间）对于V的任意一 个变换  来说，都是  －子空间. 一、不变子空间 1、定义 注：

2、不变子空间的简单性质 1)两个一子空间的交与和仍是σ一子空间 2)设W=L(a1,a2,a,),则W是σ一子空间 分σ(a1),(a2),,o(a,)∈W 证:"→"显然成立 ∈"任取∈W,设5=k1ax1+k22+…+ka, 则σ(5)=k(a1)+k2o(a2)+…+k,(ay 由于o(a1,o(a2)…,o(a,)∈W,∴(5)∈W 故W为σ的不变子空间

3 1）两个  －子空间的交与和仍是  －子空间. 2）设 W L = ( , , ),    1 2 s 则W是  －子空间 1 2 ( ), ( ), , ( ) .         s W 证： " "  显然成立. " "  任取  W , 设 1 1 2 2 , s s     = + + + k k k 则 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ). s s         = + + + k k k 故W为  的不变子空间. 2、不变子空间的简单性质 由于 1 2 ( ), ( ), , ( ) ,       s W    ( ) . W

3、一些重要不变子空间 1)线性变换σ的值域可()与核σ(0)都是σ的 不变子空间 证:∵a()={o(a)a∈V}≤V, v∈a(V),有(4)∈a( 故()为σ的不变子空间 又任取5∈a1(0),有(5)=0∈a1(0) a(0为σ的不变子空间

4 1）线性变换  的值域  ( ) V 与核 ( ) 都是 的 1  0 −  不变子空间. 证：     ( ) ( ) , V V V =             (V V ), ( ) ( ). 有 故  ( ) V 为  的不变子空间. 又任取 ( ) 有 1   0 , −  1    ( ) 0 (0). − =  3、一些重要不变子空间 1  (0) −  也为  的不变子空间

2)若O=t,则()与(0)都是a一子空间 证:∵z()={z(a)a∈ 对V∈(V,存在a∈V,使5=τ(a) 于是有, o(5)=o( (a))=or(a)=to(a)=t(o(a)ET(V) (V)为σ的不变子空间 其次,由c1(0)={aa∈,(a)=09, 对v∈r(0),有()=0

5 2）若   = , 则  ( ) V 与 都是 －子空间. 1  (0) −  证：     ( ) ( ) . V V =        对    ( ), , V V 存在 使    = ( ), 于是有，              ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = =  ( ) ( ) V  ( ) V 为  的不变子空间. ( )  ( )  1      0 , 0 , V − 其次，由 =  = 对 ( ) 有 1   0 , −     ( ) = 0

于是τ((5)=(5)=a(5)=a(x(5)=0(0)=0. O()∈r 故τ (0) 为σ的不变子空间 注 ∴f(o)=∫()o σ的多项式∫(σ)的值域与核都是σ的不变子空间 这里f(xP[x中任一多项式

6 于是            ( ( ) ( ) ( ) ( ) (0) 0. ) = = = = = ( ) ( ) 1    ( ) 0 . −   故 ( ) 为 的不变子空间. 1  0 −    的多项式 f ( )  的值域与核都是  的不变子空间. 这里 f x( ) 为 P x[ ] 中任一多项式.     f f ( ) ( ) = 注：

3)任何子空间都是数乘变换K的不变子空间 线在频小得征手是的不变子空间 5宙特在高H短的等互前是的不变子空间 证:设1,a2,…,是σ的分别属于特征值 1,12,…λ的特征向量.任取5∈L(a1,a2 号 设5=ka1+k2a2+…+k,则 ()=k1101+k2a2+…+ka∈L(1,C2,…,a,) L(a1,a2,…,a,)为σ的不变子空间

7 (    =     W k W , ) 4）线性变换  的特征子空间 是 的不变子空间. 0 V  (   =       V V   o o o , . 有 ( ) ) 5）由  的特征向量生成的子空间是  的不变子空间. 证：设    1 2 , , , s 是  的分别属于特征值 1 2 , , ,   s 的特征向量. 3）任何子空间都是数乘变换  的不变子空间. 任取 1 2 ( , , , ), L s      设 1 1 2 2 , s s     = + + + k k k 则 1 1 1 2 2 2 1 2 ( ) ( , , , ) s s s s            = + + +  k k k L 1 2 ( , , , )  L    s 为 的不变子空间

注 特别地,由σ的一个特征向量生成的子空间是一 个一维一子空间.反过来,一个一维一子空间 必可看成是σ的一个特征向量生成的子空间 事实上,若W=L(5)={kk∈P,5≠0} 则为L(5)的一组基.因为W为一子空间, a(5)∈W,即必存在∈P,使0(5)= 5是G的特征向量

8 事实上，若 W L k k P = =   (   )  , 0 .  则  为 L( ) 的一组基. 因为W为  －子空间，    ( ) , W 即必存在   P, 使    ( ) = .   是  的特征向量. 特别地，由  的一个特征向量生成的子空间是一 个一维  －子空间.反过来，一个一维  －子空间 必可看成是  的一个特征向量生成的子空间. 注：

二、在不变子空间W引起的线性变换 定义: 设σ是线性空间V的线性变换,W是V的一个的 不变子空间.把σ看作W上的一个线性变换,称作 在不变子空间W上引起的线性变换,或称作在 不变子空间W上的限制.记作

9 二、  在不变子空间W引起的线性变换 定义： 不变子空间W上的限制 . 记作 . W   在不变子空间W上引起的线性变换，或称作  在 设  是线性空间V的线性变换，W是V的一个  的 不变子空间. 把  看作W上的一个线性变换，称作

注: ①当5∈W时,am(5)=0(5 当5乐时,m(5)无意义 ②a/(W)≤W ③任一线性变换在它核上引起的线性变换是零 变换,即ao=0; 在特征子空间V上引起的线性变换是数乘变换, 即有口3=4E

10 ① 当  W 时，     W ( ) ( ). = ③ 任一线性变换  在它核上引起的线性变换是零 变换，即 ( ) 1 0 0 ;   − = 即有 0 . V oE   = 注： 当  W 时，   W ( ) 无意义. ②  W (W W )  .  在特征子空间 V0 上引起的线性变换是数乘变换