§3維缴a葚与坐标 线性空间中向量之间的线性关系 二、线性空间的维数、基与坐标
1 一 、线性空间中向量之间的线性关系 二、线性空间的维数、基与坐标
引入 问题I 如何把线性空间的全体元素表示出来? 这些元素之间的关系又如何呢? 即线性空间的构造如何? (基的问题) 问题Ⅱ 线性空间是抽象的,如何使其元素与具体的东西 数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达? 怎样才能便于运算? (坐标问题)
2 引入 即线性空间的构造如何？ 怎样才能便于运算？ 问题Ⅰ 如何把线性空间的全体元素表示出来？ 这些元素之间的关系又如何呢？ （基的问题） 问题Ⅱ 线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西 —数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？ （坐标问题）
线性空间中向量之间的线性关系 1、有关定义:V是数域P上的一个线性空间 (1)a2a2…,ar∈V(r≥1),k,k2…k,∈P,和式 k1ax1+k22+…+k1rn 称为向量组a,a2,…,a,的一个线性组合 (2)1,2…r,B∈V,若存在k1,k2,…,k∈P 使β=ka1+k2a2+…+kan 则称向量B可经向量组ax1a2,…a线性表出;
3 一 、线性空间中向量之间的线性关系 1、有关定义：V 是数域 P 上的一个线性空间 （1） 1 2 1 2 , , , ( 1), , , , , r V r r k k k P 和式 1 1 2 2 r r k k k 称为向量组 1 ,2 ,,r的一个线性组合． （2）1 ,2 ,,r , V ，若存在 1 2 , , , r k k k P 则称向量 可经向量组 1 , 2 ,, r 线性表出； 1 1 2 2 r r 使 k k k
若向量组B1,B2,…,B、中每一向量皆可经向量组 C122…,c,线性表出,则称向量组B1,B2,,B。 可经向量组1O2…,C1线性表出; 若两向量组可以互相线性表出,则称这两个向量组 为等价的 (3)a12a2…,axn∈V,若存在不全为零的数 k,k2…k,∈P,使得 ka1+k2a2+…+ky2=0 则称向量组a1,a2…ar为线性相关的;
4 若向量组 1 , 2 , , s 中每一向量皆可经向量组 1 2 , , , r线性表出，则称向量组 1 2 , , , s 可经向量组 1 , 2 , , r 线性表出； 若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组 为等价的． （3） 1 2 , , , r V ，若存在不全为零的数 1 2 , , , r k k k P，使得 1 1 2 2 0 r r k k k 则称向量组 1 , 2 , , r 为线性相关的；
如果向量组a1,O2…,a,不是线性相关的,即 ka1+k2a2+…+k,cx=0 只有在k1=k2=…=kn=0时才成立, 则称a12Q2,…,C为线性无关的 2、有关结论 (1)单个向量a线性相关◇O=0 单个向量a线性无关≠0 向量组a1,O2,…,线性相关 →C12C2…,C1中有一个向量可经其余向量 线性表出
5 如果向量组 1 , 2 , , r 不是线性相关的，即 1 1 2 2 0 r r k k k 只有在 k 1 k2 kr 0 时才成立， 则称 1 , 2 , , r 为线性无关的． 2、有关结论 （1）单个向量 线性相关 0. 单个向量 线性无关 0 向量组 1 , 2 , , r线性相关 1 2 , , , r 中有一个向量可经其余向量 线性表出．
(2)若向量组a1,2…,C1线性无关,且可被 向量组A1,B2,B,线性表出,则r≤S; 若 C1.C,… a,与A1,B2…,B为两线性无关的 等价向量组,则〃=S (3)若向量组a12O2…,r线性无关,但向量组 a,a2y…,Qr,B线性相关,则/可被向量组 1,C2…,C线性表出,且表法是唯一的
6 （2）若向量组 1 , 2 , , r 线性无关，且可被 向量组 1 , 2 , , s 线性表出，则 r s ; 若 1 , 2 , , r与 1 , 2 , , s 为两线性无关的 等价向量组，则 r s. （3）若向量组 1 , 2 , , r 线性无关，但向量组 1 2 , , , , r 线性相关，则 可被向量组 1 , 2 ,, r 线性表出，且表法是唯一的．
二、线性空间的维数、基与坐标 1、无限维线性空间 若线性空间V中可以找到任意多个线性无关的向量, 则称V是无限维线性空间 例1所有实系数多项式所成的线性空间Rx是无限 维的.因为, 对任意的正整数n,都有n个线性无关的向量 1,x,x2, ·,Wn-1
7 二、线性空间的维数、基与坐标 1、无限维线性空间 若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量， 则称 V 是无限维线性空间． 例1 所有实系数多项式所成的线性空间 R[x] 是无限 维的. 1，x，x 2，…，x n－1 对任意的正整数 n，都有 n 个线性无关的向量 因为
2、有限维线性空间 (1)n维线性空间: 若在线性空间V中有n个线性无关的向量,但是 任意n+1个向量都是线性相关的,则称V是一个 n维线性空间;常记作dimV=n 注:零空间的维数定义为0 (2)基 dimv=0 v=0 在n维线性空间ⅴ中,n个线性无关的向量 E1E2…En,称为V的一组基;
8 2、有限维线性空间 n 维线性空间；常记作 dimV＝ n . 在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量 （1）n 维线性空间： 若在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量，但是 任意 n＋1 个向量都是线性相关的，则称 V 是一个 （2）基 1 2 , , , n ，称为 V 的一组基； 注：零空间的维数定义为0. dimV＝ 0 V＝{0}
(3)坐标 设 1:c2 ,En为线性空间ⅴ的一组基,c∈V, 若 C=181+a8+∷a1, ∈P 则数组(1,2,…,an,就称为c在基1,2,',n 下的坐标,记为(a1a2…,an 有时也形式地记作a=(162… 注意: 向量的坐标(a1,a2…,an)是被向量c和基52,,n 唯一确定的.即向量C在基1,82,n下的坐标唯一的 但是,在不同基下C的坐标一般是不同的
9 下的坐标，记为 1 2 ( , , , ). n a a a 有时也形式地记作 1 2 1 2 ( , , , ) n n a a a （3）坐标 设 1 , 2 ,, n 为线性空间 V 的一组基， V , 则数组 ，就称为 在基 1 2 , , , n 1 2 , , , n a a a 1 1 2 2 1 2 , , , , n n n 若 a a a a a a P 注意： 向量 的坐标 1 2 ( , , , ) n a a a 是被向量 和基 1 2 , , , n 唯一确定的．即向量 在基 1 2 下的坐标唯一的. , , , n 但是，在不同基下 的坐标一般是不同的．
3、线性空间的基与维数的确定 定理:若线性空间V中的向量组a1,a2,…,Cn满足 i)a1,C2,…n线性无关; i)VB∈V,B可经a1,a2,…an线性表出 则V为n维线性空间,c1,a2,…,Cn为Ⅴ的一组基 证明:∵1,2,…,mn线性无关,V的维数至少为n 任取V中n+1个向量月,B2,Bn,Bn+1,由ⅱ),向量 组月1,B2…,B,Bm可用向量组a1,2…,n线性表出 若B1,B2,…,Bn,Bn+是线性无关的,则n+1≤n,矛盾
10 3、线性空间的基与维数的确定 定理：若线性空间V中的向量组 1 , 2 , , n 满足 证明：∵ a 1 ,a 2 , , a n 线性无关， ⅰ） 1 , 2 , , n 线性无关； ⅱ） V , 可经 线性表出, 1 2 , , , n 则V为n 维线性空间， 1 , 2 , , n 为V的一组基． ∴V的维数至少为 n． 任取V中 n＋1个向量 1 , 2 , , n , n 1 ，由ⅱ)，向量 组 1 , 2 , , n , n1可用向量组 a1 , a2 , ,a n 线性表出. 若 1 , 2 , , n , n1是线性无关的，则n＋1≤n，矛盾．