北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第三章 线性方程组（3.6）线性方程组解的结构

第六节线性方程组解的结构 、齐次线性方程组解的性质 1.解向量的概念 设有齐次线性方程组 1X1+a1,x 11 1 12 2 0 Inn Xa 21~1 y,十∷+ax 22~2 2 0 nn (1) a1x1+a,2x2+…+anxn=0 若记

1 １．解向量的概念 设有齐次线性方程组        + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 s s s n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     若记 （1） 一、齐次线性方程组解的性质 第六节 线性方程组解的结构

12 21 22 2n s2 则上述方程组(1)可写成向量方程 , a x,+…+anxn=0 2 若x1=51,x2=51,…,xn=5n为方程Ax=0的 解,则 2

2 , 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1               = s s s n n n a a a a a a a a a A                      = xn x x x  2 1 则上述方程组（1）可写成向量方程 0. a1 x1 + a2 x2 ++ an xn = 1 1 1 2 2 1 xn n1 若 x =  , x =  ,, =  为方程 Ax = 0 的 解，则

11 21 1 n1 称为方程组1的解向量,它也就是向量方程 (2)的解

3               = = 1 21 11 1 n x      称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解．

2.齐次线性方程组解的性质 (1)若x=5,x=2为Ax=0的解,则 x=51+22 也是Ax=0的解. 证明∵A51=0,AE2=0 A(1+42)=A51+A2=0 故x=51+与2也是4x=0的解

4 ２．齐次线性方程组解的性质 （1）若 x =  1 ,x =  2 为 Ax = 0 的解，则 x =  1 +  2 也是 Ax = 0 的解. 证明  A( 1 +  2 ) = A 1 + A 2 = 0  A 1 = 0, A 2 = 0 故 x 也是Ax 0的解. =  1 +  2 =

(2)若x=51为Ax=0的解,k为实数,则 x=k51也是Ax=0的解 证明4(k5)=k4(51)=k0=0 证毕 由以上两个性质可知,方程组的全体解向量 所组成的集合,对于加法和数乘运算是封闭的, 因此构成一个向量空间,称此向量空间为齐次线 性方程组Ax=0的解空间

5 （2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解． x =  1 Ax = 0 k x = k 1 Ax = 0 证明 A(k ) kA( ) k0 0.  1 =  1 = = 由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 Ax = 0 的解空间． 证毕

二、基础解系及其求法 定义17 71,m2,…,m,称为齐次线性方程组Ax=0的基础 解系如果 (1)m,n2,…,是4x=0的一组线性无关的解; (2)4x=0的任一解都可由m,m2,,m线性表 出

6 解 系 如 果 称为齐次线性方程组 的基础 , 1 ,2 ,,t Ax = 0 (1) , , , 0 ; 1 2  t是Ax = 的一组线性无关的解 . (2) 0 , , , 1 2 出 Ax = 的任一解都可由   t线性表 定义17 二、基础解系及其求法

如果m,2,,m,为齐次线性方程组Ax=0 的一组基础解系那么,A=0的通解可表示为 x=k17h+k22+…+k 其中k1,k2,…,k是任意常数

7 的一组基础解系 那么 的通解可表示为 如果 为齐次线性方程组 0 = = Ax t Ax , , 1 ,2 ,, 0 x = k11 + k22 ++ ktt , , , . 其中k1 k2  kn−r是任意常数

线性方程组基础解系的求法 设齐次线性方程组的系数矩阵为A,并不妨 设4的前r个列向量线性无关于是A可化为 0 n-r r,n一r

8 线性方程组基础解系的求法                   − − 0 0 0 0 0 1 1 0 ~ 1 , 1 1 1,                         r r n r n r b b b b A 设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨 设 的前 r 个列向量线性无关．于是 可化为 A A A

0 h Ax=0今 rI r.h-l 0 0 0 n 11~r+1 b, 今 r1r+1 r,n-r h

9 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 1 1 , 1 1 1, =                                       − − n r r n r n r x x x b b b b                                 = − − − = − − −  + − + − r r r r,n r n r ,n r n x b x b x x b x b x    1 1 1 1 1 1 1 Ax = 0

现对x,…,xn取下列n-r组数: r+1 0 0 r+2 0 0 b, 11~r+1 分别代入 1r+1

10 现对 x r+1 ,  , x n 取下列 n− r 组数：               + + n r r x x x  2 1      = − − − = − − − + − + − r r r r,n r n r ,n r n x b x b x x b x b x    1 1 1 1 1 1 1 分别代入 , .               1 0 0  ,               0 1 0  ,               = 0 0 1  