s18复系数与实系数 多项式的因式分解 、复系数多项式 二、实系数多项式
一、复系数多项式 二、实系数多项式
、复系数多项式 1.代数基本定理 vf(x)∈C|xl,若O(f(x)≥1,则f(x)在复数域 C上必有一根 推论1 vf(x)∈C|x],若a(f(x))≥1,则存在x-a∈C|x], 使(x-a)f(x) 即,f(x)在复数域上必有一个一次因式
1. 代数基本定理 一、复系数多项式 f x C x ( ) [ ] , 若 ( ( )) 1 , f x 则 f x( ) 在复数域 C 上必有一根． 推论1 f x C x ( ) [ ] , 若 ( ( )) 1 , f x 则存在 x a C x − [ ] , 使 ( ) | ( ) . x a f x − 即， f x( ) 在复数域上必有一个一次因式．
推论2 复数域上的不可约多项式只有一次多项式,即 vf(x)∈C|xl,a(f(x)>1,则f(x)可约 2.复系数多项式因式分解定理 vf(x)∈C|xl,若∂(f(x)≥1,则∫(x)在复数域 C上可唯一分解成一次因式的乘积
推论2 复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即 f x C x ( ) [ ], ( ( )) 1, f x 则 f x( ) 可约． 2. 复系数多项式因式分解定理 f x C x ( ) [ ], 若 ( ( )) 1, f x 则 f x( ) 在复数域 C 上可唯一分解成一次因式的乘积．
推论1 f(x)∈C[x,若(∫(x)≥1,则∫(x)在C 上具有标准分解式 f∫( X=ax a1)"(x-a2)2…(x-ax 其中a1,a2,…,是不同的复数, r∈Z 推论2 vf(x)∈C[x,若O(f(x)=n,则∫(x)有n个 复根(重根按重数计算)
推论1 推论2 f x C x ( ) [ ], 若 ( ( )) 1, f x 则 f x( ) 在 C 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) s r r r s f x a x x x = − − − 1 2 , , Z s r r r + 其中 是不同的复数， , 1 2 , , , s 上具有标准分解式 复根（重根按重数计算）． f x C x ( ) [ ]， 若 = ( ( )) f x n ，则 f x( ) 有n个
二、实系数多项式 命题:若a是实系数多项式f(x)的复根,则a 的共轭复数a也是∫(x)的复根 证:设f(x)=anx”+an1xm+…+a0,a1∈R 若a为根,则 f(a=a,a"+am-a+.+ao=0 n 两边取共轭有∫(a)=ana+an1a+…+a=0 .a也是为∫(x)复根
二、实系数多项式 命题：若 是实系数多项式 的复根，则 的共轭复数 也是 的复根． f x( ) f x( ) 若 为根，则 1 1 0 ( ) 0 n n n n f a a a − = + + + = − 两边取共轭有 ∴ 也是为 f x( ) 复根． 1 1 0 ( ) 0 n n n n f a a a − = + + + = − 证： 1 1 0 ( ) , n n n n i f x a x a x a a R − 设 = + + + −
实系数多项式因式分解定理 v∫(x)∈R[x],若∂(∫(x)≥1,则f(x)可唯 地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积. 证:对∫(x)的次数作数学归纳 ①(f(x)=1时,结论显然成立 ②假设对次数<n的多项式结论成立 设O(f(x)=n,由代数基本定理,f(x)有一复根a 若a为实数,则f(x)=(x-a)f1(x,其中O(f1=n-1
实系数多项式因式分解定理 ，若 ， 则 可唯一 地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积． f x R x ( ) [ ] ( ( )) 1 f x f x( ) 证：对 f x( ) 的次数作数学归纳． ① = ( ( )) 1 f x 时，结论显然成立. ② 假设对次数<n的多项式结论成立． 设 = ( ( )) f x n ，由代数基本定理, f x( ) 有一复根 ． 若 为实数, 则 f x x f x ( ) ( ) ( ) = − 1 ，其中 1 = − ( ) 1. f n
若a不为实数,则a也是∫(x)的复根,于是 f(x)=(x-a)(x-a)2(x)=(x2-(a-a)x+aa)2(x) 设a=a+b,则a=a-bi, a+a=2a∈R,aa=a2+b2∈R 即在R上x2-(a+a)x+aa是一个二次不可约多项式 从而O(/2)=n-2. 由归纳假设f1(x)、f2(x)分解成一次因式与二次 不可约多项式的乘积.由归纳原理,定理得证
若 不为实数，则 也是 f x( ) 的复根，于是 2 2 2 f x x x f x x x f x ( ) ( )( ) ( ) ( ( ) ) ( ) = − − = − − + 设 = + a bi ，则 = − a bi, 2 2 = + a b R 即在R上 是 一个二次不可约多项式． 2 x x − + + ( ) , + = 2a R 从而 2 = − ( ) 2. f n 由归纳假设 f x 1 ( ) 、 f x 2 ( ) 可分解成一次因式与二次 不可约多项式的乘积． 由归纳原理，定理得证．
推论1 ·看·音看音音看看音音,看看音音 ……………………………… vf(x)∈R[xl,f(x)在R上具有标准分解式 f(x)=an(x-c1)(x-c2)2…(x-c,)(x2+p1x+q1 (x+prx+ar)" 其中c1,c2,c,n1 ∈R k s915 ∈ 且p2-4q<0,i=1,2…r,即x2+p1x+qi为 R上的不可约多项式
f x R x ( ) [ ], f x( ) 在R上具有标准分解式 1 2 1 2 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k ks n s f x a x c x c x c x p x q = − − − + + 推论1 1 2 1 1 , , , , , , , , , , s r r 其中 c c c p p q q R 1 1 , , , , , , s s k k l l Z+ 且 ，即 为 2 p q i r − = 4 0, 1,2 2 i x p x qi + + R上的不可约多项式. 2 ( )kr x p x q + + r r
推论2 实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 次不可约多项式,所有次数≥3的多项式皆可约 例1求x"-1在C上与在R上的标准分解式 解:1)在复数范围内x"-1有n个复根, 1,
推论2 实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 例1 求 1 在 上与在 上的标准分解式. n x − C R 1) 在复数范围内 x n − 1 有n个复根， 次不可约多项式，所有次数≥3的多项式皆可约. 解： 2 1 1, , , , n −
2兀 这里E=cos+isin 2兀 = e=c0s+isin2k兀k=1,2,…n 2k兀 n x"-1=(x-1)(x-)(x-2)…(x-E") 2)在实数域范围内 n-k k k 2k兀 2 kk Cos a k=1,2,…,n
2 2 cos sin , 1 n i n n = + = 2 2 cos sin , 1,2, , k k k i k n n n = + = ∴ 2 1 1 ( 1)( )( ) ( ) n n x x x x x − − = − − − − 2) 在实数域范围内 这里 , k n k − ∵ = 2 2cos 1 , k k k k k n + = = k n = 1, 2,
