《高等数学》考研题集（理工类）考研真题六

(2)求D绕x=e直线旋转一周所得旋转体的体积 考研真题六 7.设曲线的极坐标方程为p=e(a>0)则该曲线上相应于θ从0变到 1.设曲线y=ax2(a>0,x≥0)与y=1-x2交于点A,过坐标原点O和 2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 0数二考研题 点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形问a为何值时,该图形绕x轴旋 8.某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层,汽锤每次击打,都将 转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少? 00数二考研题 克服土层对桩的阻力而作功设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度 2.设p=p(x)是抛物线y=√上任一点M(x,y)(x≥1)处的曲率半径, 成正比(比例系数为k,k>0),汽锤第一次击打将桩打进地下am.根据设计方 是测物上介于点和1)于M之则的长计算出的 案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打所作的功之比为常数r(0 r0)及y=0围成一曲边梯 5.设D1是由抛物线y=2x2和直线x=a,x=2 形,该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体,其体积为(r),側面积为S(), 及y=0所围成的平面区域;D2是由抛物线y=2x2和 在x=【处的底面积为F(t) 0数二考研题 直线y=0,x=a所围成的平面区域,其中0<a<2 (1)试求D1绕x轴旋转而成的旋转体体积V D2绕y轴旋转而成的旋转体的体积V2; (2)计算极限lmSO (2)试问a为何值时H+V2取得最大值?试求此最大值 但数三考研题 6.过坐标原点作曲线y=lnx的切线,该切线与曲线y=lnx及x轴围成 1l.如图,C1和C2分别是y=(1+e)和y=ex的图象,过点,1)的 平面图形D 03数一考研题 曲线C3是一单调增函数的图象,过C2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴 (1)求D的面积A 和y轴的直线l,和,记C1,C2与x所围图形的面积为S(x)C2,C3与

( ) 3. ( 0 ) , (1 ) ( ( ) (1,1) , 3 2. ( ) ( , ) 1) , 2 3/ 2 2 2 3 填空 位于曲线 下方 轴上方的无界图形的面 值 在直角坐标系下曲率公式为 是该抛物线上介于点 于 之间的弧长 计算 设 是抛物线 上任一点 处的曲率半径 y xe x x y y K ds d ds d s s x A M x y x M x y x x =   + +   = = − = =  −      ( .  . 01数二考研题 02数二考研题 转一周所得的旋转体体积最大 ? 最大体积是多少? 00数二考研题 积是 ( ) , . , , 4. , 所围成 当水面与闸门的上端相平 为对称轴 闸门的上部为矩形 下部由二次抛 某闸门的形状与大小如图所示 其中直线 AB ABCD l 欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承 l A B D C 物线与线段 时 . , 1. ( 0, 0) 1 , 2 2 2 的直线与曲线 围成一平面图形 问 为何值时 该图形绕 设曲线 与 交于点 过坐标原点 和 A y ax a x y ax a x y x A O = =   = − 点 轴旋 ) 考研真题六 的 0, , 0 2 . 0 ; 2 5. 2 , 2 ( ) ? 5 : 4, 2 2 2 1 直线 所围成的平面区域 其中 及 所围成的平面区域 是由抛物线 设 是由抛物线 和直线 米 闸门矩形部分的高 y x a a y D y x D y x x a x m h = =   = = = = = 02数二考研题 O x y 2 y = 2x D1 a 2 D2 受的水压力之比为 应为 和 (2) ? . ; (1) ; 1 2 2 2 1 1 试问 为何值时 取得最大值 试求此最大值 绕 轴旋转而成的旋转体的体积 试求 绕 轴旋转而成的旋转体体积 a V V D y V D x V + 02数三考研题 多少 (1) ; . ln , ln D A D y x y x x 求 的面积 平面图形 6. 过坐标原点作曲线 = 的切线 该切线与曲线 = 及 轴围成 03数一考研题 17 . . ( : ) (2) , ? (1) 3 , ? 2). (0 注 表示长度单位米 若击打次数不限 汽锤至多能将桩打进地下多深 汽锤击打桩 次后 可将桩打进地下多深 问 m r r   (1) ( ) . , . , ( , ) 2 1 , 2 2 ( ) y f x y Q PQ x y f x P x y 求曲线 的方程 处的法线与 轴的交点为 且线段 被 轴平分 设位于第一象限的曲线 过点 其上任一点 = 9. = 03数一考研题 03数二考研题 ( ) . (2) sin [ 0, ] , ( ) s 已知曲线 y = x 在  上的弧长为 l 试用 l 表示曲线 y = f x 的 弧长 (2) 求 D 绕 x = e 直线旋转一周所得旋转体的体积 V . 8. 某建筑工程打地基时, 需用汽锤将桩打进土层 , 汽锤每次击打, 都将 2 ______ . 7. ( 0), 0 的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 设曲线的极坐标方程为 则该曲线上相应于 从 变到     = e a  a 03数二考研题 , 成正比 (比例系数为k, k  0), 汽锤第一次击打将桩打进地下 am. 根据设计方 要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打所作的功之比为常数 克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度 案 . ( ) ( ) (2) lim ; ( ) ( ) (1) ( ). . , ( ) , ( ) , 0 , ( 0) 0 2 10. F t S t V t S t x t F t x V t S t x x t t y e e y t x x →+  − = = =  = + = 计算极限 求 的值 在 处的底面积为 该曲边梯形绕 轴旋转一周得一旋转体 其体积为 侧面积为 曲线 与直线 及 围成一曲边梯 04数二考研题 形 11. 如图, C1 和 C2 分别是 (1 ) 2 1 x y = + e 和 x y = e 的图象, 过点 (0,1) 曲线 C3 是一单调增函数的图象, 过 C2 上任一点 M ( x, y) 分别作垂直于 x 轴 y 轴的直线 x l 和 . y l 记 1 2 C , C 与 x l 所围图形的面积为 1 2 3 S ( x); C , C 与 y l 的 和 18 .

所围图形的面积为S2(y).如果总有S1(x)=S2(y),求曲线C3的方程x=(y) 05数二考研题 12.设D是位于曲线y=√a(a>1,0≤x<+∞)下方、x轴上方的无 界区域 07数二考研题 1)当区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积(a) I)当a为何值时,V(a)最小?并求此最小值

所围图形的面积为 ( ). 2 S y 如果总有 ( ) ( ), 1 2 S x = S y 求曲线 C3 的方程 x =( y). 05数二考研题 1 O 1 y x l C C C y 3 2 1 l x M( x, y) 计算下列各函数的导数： 设 D 是位于曲线 ( 1, 0 ) 2 =    + − y xa a x a x 下方、x . (Ⅰ) 当区域 D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 V (a); (Ⅱ) 当 a 为何值时, V (a) 最小 ? 并求此最小值. 界区域 12. 轴上方的无 07数二考研题 19 .