(1)设M(x0,y0)为区域D上一点,问h(x,y)在该点沿平面上什么方向 考研真题八 的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为g(x0,y0),试写出g(xa,%)的 (x,分)+8(2),共中厂具有二阶连续偏导数,g具有二阶连 表达式; (2)现欲利用此小山开展攀登活动,为此需要在山脚寻找一上山坡度最大 导数,求 00一考研 的点作为攀登的起点,也就是说,要在D的边界线x2+y2-x=75上找出使 2.选择设函数f(x,y)在点(0,0)的附近有定义,且f(0,0)=3,f(0,0) (1)中的g(x,y)达到最大值的点,试确定攀登起点的位置 =1,则(). 6.曲面=x2+y2与平面2x+4y-=0平行的切平面的方程是 0数一考研题 (A)d=|o,o)=3dr+dy 7.已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个领域内连续 B)曲面==f(x,y)在点(0,0,f(0,0)的法向量为{3,1,1 (C)曲线 f(r, y) 在点(0,0,f(0,0))的切向量为{1,0,3} 则(). 0数一考研 D)曲线{x,y在点(0,0,f(00)的切向量为(3,01 (A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点 (B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点 3.设函数二=f(x,y)在点(l,1)处可微,且f(,1)=1 (C)点(,0)是f(x,y)的极小值点 oya,23.°(x)=f(x,f(x,x).求(x) 0数一考研题 D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点 4.选择考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质 设二=(x,y)是由x2-6x+10y2-2y=--2+18=0确定的函数,求 ①数一考研题 ①f(x,y)在点(x0,yo)处连续 (x,y)的极值点和极值 ②∫(x,y)在点(x0,y)处的两个偏导数连续 9.设函数=(x,y)由方程=e2+2y确定,则 ③∫(x,y)在点(x0,y)处可微 04数二考研题 ④f(x,y)在点(x0,yo)处的两个偏导数存在 e)其中∫具有连续二阶偏导数,求 若用P→Q表示可由性质P推出性质Q,则有() 04数二考研题 (C)③→④→① D)③→①→④ 设函数u(xy,)=1+++,单位向量n=-u.1,则 5.设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区 域为D={(x,y)x2+y2-x≤75},小山的高度函数为
, . 1. , , , 2 x y z f g x y g y x z f xy = + 求 设 其中 具有二阶连续偏导数 具有二阶连 续导数 00数一考研题 ( ) ( ) 1, 2. ( , ) (0, 0) , (0, 0) 3, (0, 0) 则 选择 设函数 在点 的附近有定义 且 (A) f x y f f x y = = 3 ; (0, 0) dz = dx + dy 01数一考研题 3, ( ) ( , ( , ) ( ) . 3. ( , ) (1, 1) , (1, 1) 1 , 2 , 1 3 (1, 1) (1, 1) 求 设函数 在点 处可微 且 x dx d x f x f x x y f x f z f x y f (D) (C) (B) x = = = = = = 曲面 z = f ( x , y ) 在点 ( 0, 0, f (0, 0)) 的法向量为{3, 1, 1}; {1, 0, 3} 0 ( , ) 曲线 在点 的切向量为 y z f x y = = ( 0, 0, f (0, 0)) ; {3, 0, 1} 0 ( , ) 曲线 在点 的切向量为 y z f x y = = ( 0, 0, f (0, 0)) . ) . 01数一考研题 4. 选择 考虑二元函数 f (x, y) 的下面 4 条性质 : 02数一考研题 ( ). ① ( , ) ( , ) ; f x y 在点 x0 y0 处连续 ④ ③ ② ( , ) ( , ) ; f x y 在点 x0 y 0 处的两个偏导数连续 ( , ) ( , ) ; f x y 在点 x0 y 0 处可微 ( , ) ( , ) f x y 在点 x 0 y 0 处的两个偏导数存在. 考研真题八 ( , ) 75 . {( , ) 75} 5. , , 2 2 2 2 小山的高度函数为 设有一小山 取它的底面所在的平面为 坐标面 其底部所占的区 h x y x y xy D x y x y xy xOy = − − + = + − , ; . ; ; , ③ ④ ① ③ ① ④ ② ③ ① ③ ② ① 若用 表示可由性质 推出性质 则有 (C) (D) (A) (B) P Q P Q ( ). 域为 21 . . (1) ( , ) , . , , 75 (2) , ; ? ( , ) ( , ) (1) ( , ) , ( , ) 2 2 0 0 0 0 0 0 中的 达到最大值的点 试确定攀登起点的位置 也就是说 要在 的边界线 上找出使 现欲利用此小山开展攀登活动 为此需要在山脚寻找一上山坡度最大 的方向导数最大 试写出 的 设 为区域 上一点 问 在该点沿平面上什么方向 g x y D x y xy g x y g x y M x y D h x y + − = , 的点作为攀登的起点 若记此方向导数的最大值为 02数一考研题 6. 2 4 0 ____. 曲面 z = x 2 + y 2 与平面 x + y − z = 平行的切平面的方程是 7. 已知函数 f ( x, y) 在点(0, 0) 的某个领域内连续, 且 03数一考研题 03数一考研题 (0, 0) ( , ) . (0, 0) ( , ) ; (0, 0) ( , ) ; (0, 0) ( , ) ; 1, ( ) ( , ) lim 2 2 2 0 0 根据所给条件无法判断点 是否为 的极值点 点 是 的极小值点 点 是 的极大值点 点 不是 的极值点 则 (D) f x y (C) f x y (B) f x y (A) f x y x y f x y xy y x = + − → → ( ). ( , ) . 8. ( , ) 6 10 2 18 0 , 2 2 2 的极值点和极值 设 是由 确定的函数 求 z z x y z z x y x xy y yz z = = − + − − + = 04数一考研题 3 __________. 9. ( , ) 2 , 2 3 = + = = + − y z x z z z x y z e y 设函数 由方程 x z 确定 则 04数二考研题 10. ( , ), , 2 2 z f x y e f xy 设 = − 其中 具有连续二阶偏导数 求 表达式 , , . 2 x y z y z x z 04数二考研题 11. 设函数 , 6 12 18 ( , , ) 1 2 2 2 x y z u x y z = + + + 单位向量 {1,1,1}, 3 1 n = 则 ______ . (1, 2, 3) = n u 05数一考研题 22 .
12.设有三元方程x-lny+e=1,根据隐函数存在定理,存在点(o,l, 1)的一个邻域,在此邻域内该方程() 0s数一考研题 9.二元函数f(x,y)在点(0,0)处可微的一个充分条件是() (A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数=(x,y 07数二考研题 (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,)和二=二(x,y); (A) lim U(x, y)-f(0, 0)=0; (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,)和==(x,y) (B)imx0-/00=0,且m0y)-00)=0 (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,-)和y=y(x,=) f(x,y)-f(0 13.设函数axy叭(x+y+0(-y)+90,其中函数具有 二阶导数,v具有一阶导数,则必有() 05数一、二考研题 (D)im[x(x,0)-/20.0=0.且m[f(,y)-f(0.0)=0 14.已知=f(x,y)的全微分d=2xdx-2Jdy,并且f(1,D=2.求f(x,y) 在椭圆域D={(x,y)lx2+s1上的最大值和最小值 0数二考研题 15.设f(x,y)与(x,y)均为可微函数,且g(x,y)≠0.已知(x,y) f(x,y)在约束条件(x,y)=0下的一个极值点,下列选项正确的是() (A)若f(x0,yo)=0,则f(xo,y0)=0 6数一、二考研题 (B)若f(x0,y)=0,则f'(xo,y)≠0 (C)若f(x0,yo)≠0,则∫(xo,yo)=0 (D)若f'(x0,y)≠0,则f(xo,y)≠0 16.设f(a,T)为二元可微函数,=f(x’,y2),则 ①数一考研题 17.求函数f(x,y)=x2+2y2-x2y2,在区域D={(x,y)x2+y2s4,y≥0} 上的最大值和最小值 矿数一考析题 18.设f(u,v)是二元可微函数,=f ①数二考研题
12. 设有三元方程 − ln + =1, xz xy z y e 根据隐函数存在定理 , 存在点 的一个邻域 , 在此邻域内该方程 (A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z = z(x, y); (B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y = y (x , z) 和 z = z(x , y); (C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x = x ( y, z) 和 z = z(x, y); (D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x = x (y , z) 和 y = y (x, z); 1) ( ). 05数一考研题 14. 已知 z = f (x, y) 的全微分 dz = 2xdx − 2 ydy, 并且 f (1,1) = 2. 求 f ( x, y) 在椭圆域 1} 4 { , ) | 2 = 2 + y D (x y x 上的最大值和最小值 . 05数二考研题 13. 设函数 ( , ) ( ) ( ) ( ) , + − = + + − + x y x y u x y x y x y t dt 其中函数 二阶导数, 具有一阶导数, 则必有 ( ). (A) 2 2 2 2 y u x u = − ; 2 2 2 2 y u x u = ; 2 2 2 y u x y u = ; 2 2 2 x u x y u = . 具有 (B) (C) (D) 05数一、二考研题 (0,1, (D) 若 f x (x 0 , y0 ) 0, 则 f y (x 0 , y0 ) 0. (C) 若 f x (x 0 , y0 ) 0, 则 f y (x 0 , y0 ) = 0; (B) 若 f x (x 0 , y0 ) = 0, 则 f y (x 0 , y0 ) 0; (A) 若 f x (x 0 , y0 ) = 0, 则 f x (x 0 , y0 ) = 0; , 下列选项正确的是( ). ( , ) 0 0 x y 是 f (x , y) 在约束条件 (x , y) = 0 下的一个极值点 15. 设 f (x, y) 与 (x , y) 均为可微函数 , 且 y (x , y) 0 . 已知 06数一、二考研题 16. 设 f (u , v ) 为二元可微函数, ( , ) y x z = f x y , 则 = x z ____________. 07数一考研题 求函数 2 2 2 2 f (x , y ) = x + 2y − x y 在区域 {( , )| 4, 0} D= x y x 2 +y 2 y 上的最大值和最小值. 17. 18. 设 f (u, v) 是二元可微函数, , , = y x x y z f 则 , 07数一考研题 07数二考研题 23 . . = − y z y x z x ____________. 19. 二元函数 f (x , y) 在点 (0, 0) 处可微的一个充分条件是 ( ). (A) lim [ ( , ) (0, 0)] 0 ( , ) (0,0) − = → f x y f x y ; (B) 0, ( , 0) (0, 0) lim 0 = − → x f x f x 且 0 (0, ) (0, 0) lim 0 = − → y f y f y ; (C) 0 ( , ) (0, 0) lim ( , ) (0, 0) 2 2 = + − → x y f x y f x y ; (D) lim [ ( , 0) (0, 0)] 0, 0 − = → x x x f x f 且 lim [ (0, ) (0, 0)] 0 0 − = → y y y f y f . 07数二考研题 24 .
