§2标准正交基 、正交向量组 标准正交基 三、正交矩阵
1 一、正交向量组 二、标准正交基 三、正交矩阵
、正交向量组 定义: 设V为欧氏空间,非零向量a1,a2,…,an∈V, 如果它们两两正交,则称之为正交向量组 注 ①若a≠0,则c是正交向量组 ②正交向量组必是线性无关向量组
2 设Ｖ为欧氏空间，非零向量 1 2 , , , , m V ① 若 0, 则 是正交向量组. ② 正交向量组必是线性无关向量组. 一、正交向量组 定义： 如果它们两两正交，则称之为正交向量组. 注：
证:设非零向量a1,a2,…,an∈V两两正交 令k1a1+k2a2+…+kn2am=0,k2∈R, 则(a,∑k1a1)=∑k,(a,a1)=k1(a,)=0 由a1≠0知(a1,1)>0, k;=0,i=1,2,,m. 故a1,a2,xm线性无关
3 证：设非零向量 两两正交. 1 2 , , , m V 令 1 1 2 2 0, , m m i k k k k R + + + = 则 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) 0 m m i j j j i j i i i j j k k k = = = = = 由 i 0 知 ( , ) 0, i i 0, 1,2, , . i = = k i m 故 1 2 线性无关. , , , m
③欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组 例如:R3中a1=(1,1,0),a2=(1,0,1)线性无关 但a1,Q2不是正交向量组 19c2 )=1≠0. ④n维欧氏空间中正交向量组所含向量个数≤n
4 ④ n 维欧氏空间中正交向量组所含向量个数 n. ③ 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组． 1 2 ( , ) 1 0. = 1 2 例如： 中 = = (1,1,0), (1,0,1) 3 R 线性无关． 但 1 2 不是正交向量组.
二、标准正交基 1.几何空间R3中的情况 在直角坐标系下 i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1) 是由单位向量构成的正交向量组,即 i,)=(,k)=(k,=0, i=j=k=1 i,j,是R3的一组基
5 1. 几何空间 R 3 中的情况 在直角坐标系下 i j k = = = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) 是由单位向量构成的正交向量组，即 二、标准正交基 ( , ) ( , ) ( , ) 0, i j j k k i = = = i j k , , 是 的一组基. 3 R | | | | | | 1 i j k = = =
设a=x1i+y1j+x1k,B=x2i+y2j+z2k∈R3 ①从(a,i)=X,(a,j)=y1,(a,k)=z1 aa=(a, ii+(a,jj+(a, kk ②(a,B)=x1x2+y2+x1z2 ③|a=√x2+y12+x ④ arccos x1x2+yy2+12 2 ,+ 2 2 即在基i下,R中的与内积有关的度量性质有 简单的表达形式
6 设 3 1 1 1 2 2 2 = + + = + + x i y j z k x i y j z k R , ① 从 1 1 1 ( , ) , ( , ) , ( , ) i x j y k z = = = ② 1 2 1 2 1 2 ( , ) = + + x x y y z z ③ 2 2 2 1 1 1 | | = + + x y z 得 = + + ( , ) ( , ) ( , ) i i j j k k ④ 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 , arccos x x y y z z x y z x y z + + = + + + + 即在基 i j k , , 下， R 3 中的与内积有关的度量性质有 简单的表达形式
2.标准正交基的定义 n维欧氏空间中,由个向量构成的正交向量组 称为正交基; 由单位向量构成的正交基称为标准正交基 注: ①由正交基的每个向量单位化,可得到一组标准 正交基
7 n 维欧氏空间中，由 n 个向量构成的正交向量组 称为正交基； 2. 标准正交基的定义 由单位向量构成的正交基称为标准正交基. 注： ① 由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准 正交基
②n维欧氏空间V中的一组基61,…,6n为标准正交基 e→(a,)-11,=2,…,n ③n维欧氏空间V中的一组基1,…,n为标准正交基 当且仅当其度量矩阵A=(s,)=En ④M维欧氏空间V中标准正交基的作用: 设1,…,En为V的一组标准正交基,则
8 ② n 维欧氏空间V中的一组基 1 , , n 为标准正交基 ③ n 维欧氏空间V中的一组基 1 , , n 为标准正交基 当且仅当其度量矩阵 A E = = (( , ) . i j n ) 1 ( , ) , 1,2, , i j 0 i j i j n i j = = = ， (1) ④ n 维欧氏空间V中标准正交基的作用: 设 1 , , n 为V的一组标准正交基，则
(i)设a=x1E1+x2E2+…+xnEn∈V 由(1),(a,E;)=x1 有a=(a,61)61+(a,62)E2+…+(a,En)En(2) i)(a,B)=xy1+x22+…+xnn=∑x(3) 这里a=x161+x262+…+x,En B=y11+y2E2+…+ynEn i)l|a=√x1+…+xn
9 (i) 设 1 1 2 2 n n = + + + x x x V 由(1) ， ( , ) . i i = x (ii) 1 1 2 2 1 ( , ) n n n i i i x y x y x y x y = = + + + = (3) 这里 1 1 2 2 n n = + + + x x x ， 1 1 2 2 . n n = + + + y y y (iii) 2 2 1 | | n = + + x x 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) 有 = + + + n n (2)
3.标准正交基的构造 一施密特( Schmidt)正交化过程 定理1)n维欧氏空间中任一个正交向量组都能 扩充成一组正交基 证:设a1,a2,…,Cn欧氏空间V中的正交向量组, 对n-m作数学归纳法 当n-m=0时,a1,a2,…,Om就是一组正交基了
10 (定理1) n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能 扩充成一组正交基. 证：设 1 2 , , , m 欧氏空间Ｖ中的正交向量组， 对 n m− 作数学归纳法． 当 n m− = 0 时, 3. 标准正交基的构造 ─施密特(Schmidt)正交化过程 1 2 , , , m 就是一组正交基了. 1）