北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第二章 行列式（2.5）行列式的计算

第五节行列式的计算 矩阵 定义由n个数排成的行n列的表 21 2n 称为一个S×n矩阵,记为an),其中a称为矩阵的元素 称为行指标,/称为列指标 若A=(a1)m,其中an∈P,则称A为数域尸上的矩阵

1 第五节 行列式的计算 一 矩阵 定义 由sn个数排成的s行n列的表              s s sn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1       . ( ) 称为行指标，称为列指标 称为一个 矩阵，记为 ，其中 称为矩阵的元素， i j sn ai j sn ai j 若A (a ) ，其中a P，则称A为数域P上的矩阵. = i j sn i j 

注 (1)当S=n时,(an)n称为m级方阵 (2n级方阵A=(an)定义的级行列式4an)称为矩阵A 的行列式,记为4或detA.如 2 In 12 A 21 22 a 2n nn 2

2 注 ( 1 )当 s n时 ， ( a ) 称 为 n级方阵. = i j n  n 的行列式，记为 或 如 级方阵 定义的 级行列式 称为矩阵 | | det . (2) ( ) ( ) A A n A = ai j nn n  ai j A 11 12 1 21 22 2 1 2 nn n n nn a a a a a a A a a a       =       n n nnnn a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 | A | =

二矩阵的初等行变换 定义数城P上矩阵的初等行变换是指 1)以P中一个非零的数乘矩阵的某一行; 2)把矩阵的某一行的c倍加到另一行,其中 ∈P 3)互换矩阵中两行的位置. 注矩阵A经过初等行变换变为矩阵B记为 A→B

3 二 矩阵的初等行变换 定义 数域 P 上矩阵的初等行变换是指： 1）以 P 中一个非零的数乘矩阵的某一行； 2）把矩阵的某一行的c 倍加到另一行，其中 cP. 3）互换矩阵中两行的位置. 注 矩阵 A 经过初等行变换变为矩阵 B 记为 A B

定义矩阵的任一行从第一个元素起至该行第 个非零元素所在的下方全为零;如果 该行全为零,则它的下面的行也全为零 这样的矩阵称为阶梯形矩阵 如 0 2-1 38 0-8 0001,0054002 0000八(00006八007

4 定义 矩阵的任一行从第一个元素起至该行第 一个非零元素所在的下方全为零；如果 该行全为零，则它的下面的行也全为零， 这样的矩阵称为阶梯形矩阵. 如：           −                     − 0 0 7 0 2 1 1 0 8 , 0 0 0 0 6 0 0 5 4 0 1 2 1 3 8 , 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 1

注1 任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变为 阶梯形矩阵. 注2 方阵4经过一系列初等行变擦成阶梯阵,则 A=k|J|,k≠0

5 注 1 任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变为 阶梯形矩阵. 注 2 | A|= k | J | k  0. A J ， 方 阵 经过一系列初等行变换变成阶梯阵 ， 则

三行列式的计算-利用矩阵的初等行变换 例 33 39 5 D=204 3 57 146 4-410-102 31 00-1 z2+3r20 02 3-57 146 4-410-102

6 例1 4 4 10 10 2 3 5 7 14 6 2 0 4 2 1 3 3 7 9 5 1 1 2 3 1 − − − − − − − − − − D =  3  4 4 10 10 2 3 5 7 14 6 2 0 4 2 1 0 0 1 0 2 1 1 2 3 1 2 3 1 − − − − − − − − − r + r 三 行列式的计算－利用矩阵的初等行变换

p-12-31×(-2) 00-10 r2+3r204-21 3-57-146 4-410-102 (4)x=12-31xG=3) 00-10 2 B-2r 0204 3-57-146 4-410-102

7 4 4 10 10 2 3 5 7 14 6 0 2 0 4 1 0 0 1 0 2 1 1 2 3 1 − − − − − − − − − 4 4 10 10 2 3 5 7 14 6 2 0 4 2 1 0 0 1 0 2 1 1 2 3 1 2 3 1 − − − − − − − − − r + r (− 2)  (− 3) r2 − 2r1  (− 4) 

2 0 2 3 02 0 0 2 35 200 402 122

8 2 4 r  r 0 0 2 2 2 0 0 1 0 2 0 2 0 4 1 0 2 1 5 3 1 1 2 3 1 − − − − − − − − − 0 0 2 2 2 0 2 1 5 3 0 2 0 4 1 0 0 1 0 2 1 1 2 3 1 − − − − − − − −  4 1 r − 4r 3 3 1 r − r

2 351 000 02 35 000 70LLt7IIL 320

9 0 0 2 2 2 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 0 2 1 5 3 1 1 2 3 1 − − − − − − − − 4 3 r + r 0 0 2 2 2 0 0 1 0 2 0 0 1 1 2 0 2 1 5 3 1 1 2 3 1 − − − − − − − − − 3 2 r + r  (− 2) 

r5 r 100 211002 3511 3 0-21-53 十 0 -12=-(-2(-1(-6)=12 00 100 0

10 0 0 0 0 6 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 0 2 1 5 3 1 1 2 3 1 − − − − − − − − = −(− 2)(− 1)(− 6) 5 4 4 r + r = 12. 0 0 0 4 6 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 0 2 1 5 3 1 1 2 3 1 − − − − − − − − 5 3 r − 2r 4 