北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第四章 矩阵（4.6）初等矩阵

第六节初等矩阵 本节讨论两个问题: 1、初等变换与矩阵乘法的联系; 2、利用初等变换求矩阵逆的方法

本节讨论两个问题： 1、初等变换与矩阵乘法的联系； 2、利用初等变换求矩阵逆的方法． 第六节 初等矩阵

、初等矩阵的概念 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算,应 用广泛 定义10由单位矩阵E经过一次初等变换得到的 方阵称为初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等方阵. 1.对调两行或两列; 2以数k≠0乘某行或某列; 3以数k乘某行(列)加到另一行(列)上去

定义10 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的 方阵称为初等矩阵. E 三种初等变换对应着三种初等方阵. 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 一、初等矩阵的概念       以数 乘某行（列）加到另一行（列）上去． 以数 乘某行或某列； 对调两行或两列； k k 3. 2. 0 1

l对调两行或两列 对调E中第,两行,即G<r),得初等方阵 ←第i行 E(i,j) 第j行

对调E中第i, j两行，即(ri rj )，得初等方阵 1、对调两行或两列                                   = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 ( , )        E i j  第 i 行  第 j 行

用m阶初等矩阵En()左乘A=(an)mx,得 11 12 n am←第i行 EmGi,j)a 第j行 m2 相当于对矩阵A施行第一种初等行变换: 把A的第i行与第j行对调(分r

用m 阶初等矩阵Em (i, j) 左乘 A = (aij)mn，得                       = m m mn i i in j j jn n m a a a a a a a a a a a a E i j A              1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 ( , )  第 i 行  第 j 行 ( ). i j A i j r r A 把 的第 行与第 行对调  相当于对矩阵 施行第一种初等行变换：

类似地, 以n阶初等矩阵En(i,右乘矩阵A, 21 AEnGG,j 2 j 2n 相当于对矩阵A施行第一种初等列变换: 把A的第i列与第j列对调(e分c

以 阶初等矩阵 右乘矩阵 ， 类似地， n En (i, j) A               = m mj mi mn j i n j i n n a a a a a a a a a a a a AE i j              1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 ( , ) ( ). i j A i j c c A 把 的第 列与第 列对调  相当于对矩阵 施行第一种初等列变换：

2、以数k≠0乘某行或某列 以数k≠0乘单位矩阵的第i(r×k),得初等 矩阵E(i(k) E(i(k)) ←第i行

2、以数k  0 乘某行或某列 ( ( )). 0 ( ) E i k k i ri k 矩阵 以数  乘单位矩阵的第 行  ，得初等                       = 1 1 1 1 ( ( ))   E i k k  第 i 行

以En(k)左乘矩阵A, 11 En(i(k)A=kan1kn2kan←第i行 m2 相当于以数k乘A的第i行GXk); 类似地,以En(i(k)右乘矩阵A,其结果 相当于以数k乘A的第i列(c1×k)

相当于以数 k 乘 A的第 i 行 (ri  k)；                 = m m mn i i in n m a a a ka ka ka a a a E i k A          1 2 1 2 1 1 1 2 1 ( ( ))  第 i 行 类似地， 以 Em (i(k))左乘矩阵A， ( ). ( ( )) k A i c k E i k A i n 相当于以数 乘 的第 列  以 右乘 矩阵 ，其结果

3、以数k≠0乘某行列加到另一行列)上去 以k乘E的第j行加到第i行上(r+kr) [或以k乘E的第i列加到第j列上(c1+kc;) k ←第i E(j(k)) 1 ←第i

3、以数k  0乘某行(列)加到另一行(列)上 去 或以 乘 的第 列加到第 列上 ， 以 乘 的第 行加到第 行上 [ ( ) ( ) j i i j k E i j c kc k E j i r kr + +                       = 1 1 1 1 ( ( ))     k E ij k  第i行  第j行

以En((k)左乘矩阵A, 11 12 n tko i2 +k .+a Em((a 2 把A的第j行乘k加到第i行上(r+kr

以 Em (ij(k))左乘矩阵A，                       + + + = m m m n j j jn i j i j in jn n m a a a a a a a ka a ka a a a a a E ij k A              1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 ( ( )) ( ). i j 把 A的第 j 行乘 k 加到第 i 行上 r + kr

类似地,以En(j(k)右乘矩阵A,其结果相当于 把A的第i列乘k加到第j列上(c+kcr) AEn(j(KD) tke tka a. +ke

( ). ( ( )) j i n A i k j c kc E ij k A 把 的第 列乘 加到第 列上 + 类似地，以 右乘矩阵 ，其结果相当于               + + + = m mi mj mj mn i j j n i j j n n a a ka a a a a ka a a a a ka a a AE ij k              1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ( ))