1最大公因式 、公因式最大公式 、最大公因式的存在性与求法 三、互素 四、多个多项式的最大公因式
一、公因式 最大公式 二、最大公因式的存在性与求法 三、互素 四、多个多项式的最大公因式
公因式最大公因式 1.公因式:f(x)、g(x)∈Px,若q(x)∈Px], 满足:9(x)f(x)且p(x)g(x), 则称q(x)为∫(x)g(x)的公因式 2.最大公因式:∫(x)、g(x)∈Px,若l(x)∈Px 满足:id(x)f(x),d(x)g(x); i)若q(x)∈Pxl,(x)f(x)且叭(x)g(x),则 p(x)d(x) 则称d(x)为f(x)g(x)的最大公因式
i) d x f x d x g x ( ) ( ), ( ) ( ) ; 1．公因式: f x g x P x ( ) ( ) [ ], 、 若 ( ) x P x [ ], 满足: ( ) ( ) x f x 且 ( ) ( ), x g x 2．最大公因式: f x g x P x ( ) ( ) [ ], 、 若 d x P x ( ) [ ] 满足： ii) 若 ( ) [ ] x P x ， ( ) ( ) x f x 且 ( ) ( ) x g x ，则 ( ) ( ) . x d x 则称 d x( ) 为 f x g x ( ) ( ) 、 的最大公因式． 则称 ( ) x 为 f x g x ( ) ( ) 、 的公因式． 一、公因式 最大公因式
注:①f(x)8(x)的首项系数为的最大公因式记作: (∫(x)、g(x)) ②f(x)∈Px,∫(x)是f(x)与零多项式0的最 大公因式 ③两个零多项式的最大公因式为0 若f(x),g(x)不全为零,则(f(x),g(x)≠0 ④最大公因式不是唯一的,但首项系数为的最大 公因式是唯一的(若d(x)、为(x)∫(x)g(x) 的最大公因式,则d1(x)cl2非零常数.)
① f x g x ( ) ( ) 、 的首项系数为1的最大公因式记作: ( ( ) )) f x g x 、 ( . 注： ② f x P x ( ) [ ] ， f x( ) 是 f x( ) 与零多项式0的最 大公因式． ③ 两个零多项式的最大公因式为0． ④ 最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大 公因式是唯一的. ( 若 d x d x 1 2 ( ) ( ) 、 为 f x g x ( ) ( ) 、 的最大公因式，则 d x d x 1 2 ( ) c ( ) = ，c为非零常数． ) 若 f x g x ( ), ( ) 不全为零，则 ( ( ), ( )) 0. f x g x
、最大公因式的存在性与求法 引理:若等式∫(x)=(x)g(x)+r(x)成立,则 f∫(x)g(x)与g(x)、r(x)有相同的公因式,从而 (∫(x),g(x)=(g(x),f(x)
二、最大公因式的存在性与求法 若等式 成立，则 与 有相同的公因式,从而 ． f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + f x g x ( ) ( ) 、 g x r x ( ) ( ) 、 ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) f x g x g x f x , , = 引理：
定理2对f(x)、g(x)∈P|x,在P[x中存在 一个最大公因式d(x),且d(x)可表成∫(x)、g(x) 的一个组合,即丑(x)v(x)∈PAx,使 d(r=u(xf(x)+v(x)g(x)
定理2 对 ，在 中存在 一个最大公因式 ，且 可表成 的一个组合，即 ，使 ． f x g x P x ( ) ( ) [ ] 、 P x[ ] d x( ) d x( ) f x g x ( ) ( ) 、 u x v x P x ( ) ( ) [ ] 、 d x u x f x v x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). = +
证:若f(x)、g(x洧一为0,如g(x)=0,则f(x) 就是一个最大公因式.且f(x)=1·f(x)+0·g(x 考虑一般情形:∫(x)≠0,g(x)≠0, 用g(x)除∫(x)得: f(x)=q1(x)g(x)+r1(x) 其中O(r1(x)<O(8(x)或r1(x)=0 若r(x)≠0,用r1(x)除g(x),得: g(x)=q2(x)r1(x)+r2(x)
若 f x g x ( ) ( ) 、 有一为0，如 g x( ) 0 = ，则 f x( ) 就是一个最大公因式．且 f x f x g x ( ) 1 ( ) 0 ( ). = + 考虑一般情形： f x g x ( ) 0, ( ) 0, 用 g x( ) 除 f x( ) 得： 1 1 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 其中 ( ( )) ( ( )) r x g x 1 或 r x 1 ( ) 0 = . 2 1 2 g x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 若 r x 1 ( ) 0 ，用 r x 1 ( ) 除 g x( ) ，得： 证：
其中a(z(x)(1(x)>O(72(x))>… 因此,有限次后,必然有余式为0.设 (x)=0 于是我们有一串等式
若 r x 2 ( ) 0 ，用 r x 2 ( ) 除 r x 1 ( ) ，得 1 3 2 3 r x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ), = + 如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低， 因此，有限次后，必然有余式为0．设 1 ( ) 0. s r x + = 其中 ( ( )) ( ( )) r x r x 2 1 或 r x 2 ( ) 0 = ． …… 1 2 即 ( ( )) ( ( )) ( ( )) g x r x r x …… 于是我们有一串等式
f(x)=q1(x)g(x)+r1(x) g(x)=q2(x)(x)+r2(x) r1(x)=q3(x)2(x)+(x) ●●●●●●●●●●●●●●● F2(x)=;(x)r1(x)+r(x) x)+rx (x)=q、(x)r、-1(x)+r(x) 1(x)=qs+1(x)r(x)+0
2 1 2 g x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 1 3 2 3 r x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + ……………… ……………… i 2 i i-1 i r x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) − = + s 3 s 1 s 2 s 1 r x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − = + s 2 s s 1 s r x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) − − = + s 1 s 1 s r x q x r x ( ) ( ) ( ) 0 − + = + 1 1 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = +
从而有(f(x),g(x)=(g(x),r1(x) =(r1(x),F2(x) rx,rlx ) =(r(x),0) 再由上面倒数第二个式子开始往回迭代,逐个消去 r、1(x),…,r1(x)再并项就得到 r(=u(rf(x)+v(x)g(x)
1 ( ( ) ( ))=( ( ) ( )) f x g x g x r x , , =( ( ) ( )) s 1 s r x r x − , s r x u x f x v x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). = + 从而有 =( ( ) ( )) 1 2 r x r x , =… =( ( ) 0) s r x , 再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去 s 1 1 r x r x ( ), , ( ) − 再并项就得到
说明: ①定理2中用来求最大公因式的方法,通常称为 辗转相除法 ②定理2中最大公因式d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x) 中的u(x)、v(x)不唯一. ③对于d(x),f(x),g(x)∈P|x彐u(x),v(x)∈P|x 使d(x)u(x)f(x)+v(x)g(x),但是d(x必是 f∫(x),g(x)的最大公因式
说明: ① 定理２中用来求最大公因式的方法，通常称为 辗转相除法． ② 定理２中最大公因式 d x u x f x v x g x ( )= ( ) ( )+ ( ) ( ) 中的 u x v x ( ) ( ) 、 不唯一. ③ 对于 ， 使 ,但是 未必是 的最大公因式. d x f x g x P x u x v x P x ( ), ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] , , , d x u x f x v x g x ( )= ( ) ( ) ( ) ( ) + d x( ) f x g x ( ) ( )