19有理系数多项式 本原多项式 二、整系数多项式的因式分解
一、本原多项式 二、整系数多项式的因式分解
问题的引入 1.由因式分解定理,作为一个特殊情形: 对vf(x)∈Qx,a(f(x)≥1,则f(x)可唯一分解 成不可约的有理系数多项式的积 但是,如何作出它的分解式却很复杂,没有一个 般的方法
问题的引入 1. 由因式分解定理，作为一个特殊情形： 对 f x Q x f x ( ) [ ], ( ) 1, ( ) 则 f x( ) 可唯一分解 成不可约的有理系数多项式的积. 但是，如何作出它的分解式却很复杂，没有一个 一般的方法
2.我们知道,在C上只有一次多项式才是不可约 多项式; 在R上,不可约多项式只有一次多项式与某些 二次多项式; 但在Q上有任意次数的不可约多项式.如 xn-2,n∈z+ 如何判断Q上多项式的不可约性呢?
2. 我们知道，在 C 上只有一次多项式才是不可约 多项式； 在 R 上，不可约多项式只有一次多项式与某些 二次多项式； 但在 Q 上有任意次数的不可约多项式．如 2, . n x n Z+ − 如何判断 Q 上多项式的不可约性呢?
3.有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题 这是因为任一有理数可表成两个整数的商 事实上,设f(x)=an1x+an1x"+…+a0, 则可选取适当整数C,使(x)为整系数多项式 若cf(x)的各项系数有公因子,就可以提出来,得 cf(x)=g(x),也即f(x)=-g(x), 其中g(x)是整系数多项式,且各项系数没有异于 土1的公因子
3. 有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题． 这是因为任一有理数可表成两个整数的商． 1 1 0 ( ) , n n n n f x a x a x a − 事实上，设 = + + + − 则可选取适当整数 c, 使 cf x( ) 为整系数多项式． cf x dg x ( ) ( ), = 若 cf x( ) 的各项系数有公因子，就可以提出来，得 也即 ( ) ( ), d f x g x c = 其中 g x( ) 是整系数多项式，且各项系数没有异于 1 的公因子．
、本原多项式 定义设g(x)=bnx"+bn1x1+…+b1x+b0≠0, b∈Z,i=0,1,2,…,n.若b,bn-1,…,b1,b没有 异于土1的公因子,即bn,b21…,b1,b是互素的, 则称g(x)为本原多项式
一、本原多项式 设 1 1 1 0 ( ) 0, n n n n g x b x b x b x b − 定义 = + + + + − , 0,1,2, , . i b Z i n = 若 b b b b n n , , , , −1 1 0 没有 则称 g x( ) 为本原多项式． 异于 的公因子，即 1 1 0 , , , , n n b b b b 1 − 是互素的
有关性质 1.vf(x)∈Qx,彐r∈Q,使∫(x)=rg(x), 其中g(x)为本原多项式 (除了相差一个正负号外,这种表示法是唯一的) 2. Gauss引理 定理10两个本原多项式的积仍是本原多项式
有关性质 1． f x Q x r Q ( ) [ ], , 使 f x rg x ( ) ( ), = 其中 g x( ) 为本原多项式． （除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）． 2．Gauss引理 定理10 两个本原多项式的积仍是本原多项式．
证:设f(x)=anx"+an-1x+…+a, x)=bnxm+bnxm1+…+bo 是两个本原多项式 h(x)=f(xg(x)=dmx"+dMmxfm-+.+d 反证法.若h(x)不是本原的,则存在素数p, pd 0,1,…,n+m 又∫(x)是本原多项式,所以P不能整除f(x)的 每一个系数
设 1 1 0 ( ) , n n n n f x a x a x a − = + + + − 1 1 0 ( ) m m m m g x b x b x b − = + + + − 是两个本原多项式． 1 1 0 ( ) ( ) ( ) n m n m h x f x g x d x d x d n m n m + + − = = + + + + + − 若 h x( ) 不是本原的，则存在素数 p, 证： | , 0,1, , . r p d r n m = + 又 f x( ) 是本原多项式，所以 p 不能整除 f x( ) 的 每一个系数． 反证法．
令a;为a,a1…,an中第一个不能被P整除的数,即 P|a1,…,P|a1-1,p+a1 同理,g(x)本原,令b为b,,bn中第一个不能被 P整除的数,即Pb,P|1…P|b-P十b 又 a.b.+ b.,+ i+1j-1 在这里Pd+p,p+ab;,p|4+1b/-1,…矛盾 故(x)是本原的
令 ai 为 a a a 0 1 , , , n 中第一个不能被 p 整除的数，即 1 1 | , , , . | | i i p a p a p a − 同理， g x( ) 本原，令 bj 为 b b 0 , , m 中第一个不能被 p 整除的数，即 0 1 1 | , | , | , , . | j j p b p b p b p b − 又 1 1 , i j i j i j d a b a b + + − = + + 在这里 p d p a b p a b | , , | , i j i j i j + + − | 1 1 矛盾． 故 h x( ) 是本原的．
、整系数多项式的因式分解 定理11若一非零的整系数多项式可分解成两 个次数较低的有理系数多项式,则它一定可分解 成两个次数较低的整系数多项式的乘积
定理11 若一非零的整系数多项式可分解成两 个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解 成两个次数较低的整系数多项式的乘积． 二、整系数多项式的因式分解
证:设整系数多项式∫(x)分解式 f(=g(h(x) 其中g(x),(x)eQx且a(g(x),a((x)<O(f(x) 令f(x)=af1(x),8(x)=rg1(x),(x)=sh1(x) 这里,f1(x),g1(x),1(x)皆为本原多项式,a∈Z, r,S∈Q.于是af1(x)=rg1(x)h1(x) 由定理10,g1(x)h(x)本原,从而有a=±rs, 即FS∈Z.∴f(x)=(rg1(x)1(x)得证
设整系数多项式 f x( ) 有分解式 f x g x h x ( ) ( ) ( ) = 其中 g x h x Q x ( ), ( ) [ ], 且 ( g x h x f x ( ) , ( ) ( ) . ) ( ) ( ) 证： 令 1 1 1 f x a f x g x rg x h x sh x ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) = = = 这里， f x g x h x 1 1 1 ( ), ( ), ( ) 皆为本原多项式， a Z , r s Q , . 于是 1 1 1 a f x rsg x h x ( ) ( ) ( ). = 由定理10， g x h x 1 1 ( ) ( ) 本原， 即 rs Z . = f x rsg x h x ( ) ( ) ( ). ( 1 1 ) 从而有 a rs = , 得证．