§4正交变换 般欧氏空间中的正交变换 二、n维欧氏空间中的正交变换
1 一、一般欧氏空间中的正交变换 二、n维欧氏空间中的正交变换
、一般欧氏空间中的正交变换 1.定义 欧氏空间ⅴ的线性变换σ如果保持向量的内积不变, (o(a),o(B))=(a, B),Va, BEV 则称为正交变换 注:欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度 不变的正交变换的推广
2 一、一般欧氏空间中的正交变换 1.定义 即 ， ( ( ), ( ) ( , ), ) = , V 欧氏空间V的线性变换 如果保持向量的内积不变， 则称 为正交变换. 注：欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度 不变的正交变换的推广
2.欧氏空间中的正交变换的刻划 (定理4)设σ是欧氏空间Ⅴ的一个线性变换 下述命题是等价的: 1)σ是正交变换; 2)σ保持向量长度不变,即 o( a va∈v; 3)σ保持向量间的距离不变,即 d( o(a), o(B)=d(a,B), Va, BEV
3 2.欧氏空间中的正交变换的刻划 下述命题是等价的： （定理4）设 是欧氏空间V的一个线性变换. d d V ( ( ), ( ) , , , ) = ( ) 3） 保持向量间的距离不变，即 2） 保持向量长度不变，即 1） 是正交变换； ( ) , ; = V
证明:首先证明1)与2)等价 1)→2):若σ是正交变换,则 (a(a)a(a)=(a,a,va∈V 即,a(a)2=al 两边开方得,o(a)=al,va∈V, 2)→1)若σ保持向量长度不变,则对a,B∈ 有(Gσ(a,a(a)=(ar,a), ((,o()=(,B) (2)
4 证明：首先证明1)与2)等价． 1) 2) : 即， 2 2 ( ) = ( ( ), ( ) ( , ), ) = V 两边开方得， ( ) , , = V 若 是正交变换，则 2) 1) : 有 ( ( ), ( ) ( , ) ) = , (1) ( ( ), ( ) ( , ), ) = (2) 若 保持向量长度不变，则对 , V
(a(a+B,(a+B)=(a+,+B) (3) 把(3展开得, (a(a),o(a)+2(a(a),o(B)+(o(B)o(B) =(a,a)+2(a,B)+(,B) 再由(1)(2)即得, (a(a)o(B)=(a,B) σ是正交变换
5 把(3)展开得， ( ( ), ( ) 2 ( ), ( ) ( ), ( ) ) + + ( ) ( ) = + + ( , ) 2( , ) ( , ) 再由(1)(2)即得， ( ( ), ( ) ( , ) ) = ( ( ), ( ) ( , ), + + = + + ) (3) 是正交变换．
再证明2)与3)等价 2)→3): (a)-o(6)=(a-B), d(a(a,o()=|(a)-a(B) =l(a-B)=a-B(根据2) d(a,B) 故3)成立 3)→2):若d(o(a,a(B)=d(a,B),Va,B∈V 则有,d(a(a),o(0)=l(a,0),Va∈V 即,J(a)=(a,Ⅴa∈ 故2)成立
6 再证明2)与3)等价． 3) 2) : 2) 3) : ( ) ( ) ( ), − = − = − ( 根据２） ) = − d ( ( ), ( ) ( ) ( ) ) = − ( ) = d( , ) 故 3）成立. 若 d d V ( ( ), ( ) , , , ) = ( ) 则有， d d V ( ( ), (0) ,0 , ) = ( ) 即， ( ) , . = V 故 2）成立
二、n维欧氏空间中的正交变换 1.n维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基 不变的线性变换 1).若σ是n维欧氏空间V的正交变换,1,2…,En 是V的标准正交基,则(G1),(E2)…,O(En)也是 的标准正交基 事实上,由正交变换的定义及标准正交基的性质 即有,(o(G),a()=(6,)= L≠J
7 二、 n 维欧氏空间中的正交变换 1. n 维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基 不变的线性变换． 是V的标准正交基，则 ( ), ( ), , ( ) 1 2 n 也是V 的标准正交基. 1).若 是 n 维欧氏空间V的正交变换， 1 2 , , , n 事实上，由正交变换的定义及标准正交基的性质 ( ) 1 ( ), ( ) ( , ) i j i j 0 i j i j = = = 即有，
2).若线性变换使Ⅴ的标准正交基1,2,n变成 标准正交基(61),O(E2),…,(En),则为V的正交 变换 证明:任取a,B∈V,设 C=x1E1+xE+…x,8, B=yE1+y262+…ynn 由6162,6n为标准正交基,有 (a,B)=∑
8 2).若线性变换 使V的标准正交基 1 2 , , , n 变成 变换． 标准正交基 ( ), ( ), , ( ) 1 2 n ，则 为V的正交 1 1 2 2 n n = + + x x x 1 1 2 2 , n n = + + y y y 证明：任取 , , V 设 由 1 2 , , , n 为标准正交基，有 1 ( , ) n i i i x y = =
又()=∑x(6,o()=∑yg(2) 由于o(1),(E2),…,(En)为标准正交基,得 (a(a,()=∑x (a(a),o(B)=(a,B) 故σ是正交变换
9 ( ) 1 ( ), ( ) n i i i x y = = 故 是正交变换． 1 ( ) ( ) n j j j y = ( ) ( ), 1 = n i i i x = 又 = = ( ( ), ( ) ( , ) ) 由于 ( ), ( ), , ( ) 1 2 n 为标准正交基，得
2.n维欧氏空间ⅴ中的线性变换σ是正交变换 σ在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵 证明:"→”设61,82,…“,n为V的标准正交基,且 9n o12,…CEn E.8 15 29 当σ是正交变换时,由1知,o10E2,…,OEn也是V 的标准正交基,而由标准正交基61,2,,n到标准 正交基o1,O2,…,oBn的过渡矩阵是正交矩阵
10 2. n 维欧氏空间V中的线性变换 是正交变换 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵． 设 1 2 , , , n 为V的标准正交基，且 ( 1 2 1 2 , , , , , , n n ) = ( ) = ( 1 2 , , , n ) A 证明： " " 的标准正交基， 当 是正交变换时，由1知， 1 2 , , , n 也是V 而由标准正交基 1 2 , , , n 到标准 正交基 1 2 的过渡矩阵是正交矩阵. , , , n
