北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第九章 欧氏空间（9.4）正交变换

§4正交变换 般欧氏空间中的正交变换 二、n维欧氏空间中的正交变换

1 一、一般欧氏空间中的正交变换 二、n维欧氏空间中的正交变换

、一般欧氏空间中的正交变换 1.定义 欧氏空间ⅴ的线性变换σ如果保持向量的内积不变, (o(a),o(B))=(a, B),Va, BEV 则称为正交变换 注:欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度 不变的正交变换的推广

2 一、一般欧氏空间中的正交变换 1.定义 即 ， (     ( ), ( ) ( , ), ) =     , V 欧氏空间V的线性变换  如果保持向量的内积不变， 则称  为正交变换. 注：欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度 不变的正交变换的推广

2.欧氏空间中的正交变换的刻划 (定理4)设σ是欧氏空间Ⅴ的一个线性变换 下述命题是等价的: 1)σ是正交变换; 2)σ保持向量长度不变,即 o( a va∈v; 3)σ保持向量间的距离不变,即 d( o(a), o(B)=d(a,B), Va, BEV

3 2.欧氏空间中的正交变换的刻划 下述命题是等价的： （定理4）设  是欧氏空间V的一个线性变换. d d V (        ( ), ( ) , , , ) =   ( ) 3）  保持向量间的距离不变，即 2）  保持向量长度不变，即 1）  是正交变换；     ( ) , ; =  V

证明:首先证明1)与2)等价 1)→2):若σ是正交变换,则 (a(a)a(a)=(a,a,va∈V 即,a(a)2=al 两边开方得,o(a)=al,va∈V, 2)→1)若σ保持向量长度不变,则对a,B∈ 有(Gσ(a,a(a)=(ar,a), ((,o()=(,B) (2)

4 证明：首先证明1)与2)等价． 1) 2) :  即， 2 2    ( ) = (      ( ), ( ) ( , ), ) =   V 两边开方得，     ( ) , , =  V 若  是正交变换，则 2) 1) :  有 (      ( ), ( ) ( , ) ) = , (1) (      ( ), ( ) ( , ), ) = (2) 若  保持向量长度不变，则对    , V

(a(a+B,(a+B)=(a+,+B) (3) 把(3展开得, (a(a),o(a)+2(a(a),o(B)+(o(B)o(B) =(a,a)+2(a,B)+(,B) 再由(1)(2)即得, (a(a)o(B)=(a,B) σ是正交变换

5 把(3)展开得， (            ( ), ( ) 2 ( ), ( ) ( ), ( ) ) + + ( ) ( ) = + + ( , ) 2( , ) ( , )       再由(1)(2)即得， (      ( ), ( ) ( , ) ) = (          ( ), ( ) ( , ), + + = + + ) (3)   是正交变换．

再证明2)与3)等价 2)→3): (a)-o(6)=(a-B), d(a(a,o()=|(a)-a(B) =l(a-B)=a-B(根据2) d(a,B) 故3)成立 3)→2):若d(o(a,a(B)=d(a,B),Va,B∈V 则有,d(a(a),o(0)=l(a,0),Va∈V 即,J(a)=(a,Ⅴa∈ 故2)成立

6 再证明2)与3)等价． 3) 2) :  2) 3) :         ( ) ( ) ( ), − = − = −   ( 根据２） )  = − d (        ( ), ( ) ( ) ( ) ) = −    ( ) = d( , )   故 3）成立. 若 d d V (        ( ), ( ) , , , ) =   ( ) 则有， d d V (     ( ), (0) ,0 , ) =   ( ) 即，     ( ) , . =  V 故 2）成立

二、n维欧氏空间中的正交变换 1.n维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基 不变的线性变换 1).若σ是n维欧氏空间V的正交变换,1,2…,En 是V的标准正交基,则(G1),(E2)…,O(En)也是 的标准正交基 事实上,由正交变换的定义及标准正交基的性质 即有,(o(G),a()=(6,)= L≠J

7 二、 n 维欧氏空间中的正交变换 1. n 维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基 不变的线性变换． 是V的标准正交基，则       ( ), ( ), , ( ) 1 2 n 也是V 的标准正交基. 1).若 是 n 维欧氏空间V的正交变换， 1 2 , , , n     事实上，由正交变换的定义及标准正交基的性质 ( )  1 ( ), ( ) ( , ) i j i j 0 i j i j       = = = 即有， 

2).若线性变换使Ⅴ的标准正交基1,2,n变成 标准正交基(61),O(E2),…,(En),则为V的正交 变换 证明:任取a,B∈V,设 C=x1E1+xE+…x,8, B=yE1+y262+…ynn 由6162,6n为标准正交基,有 (a,B)=∑

8 2).若线性变换  使V的标准正交基    1 2 , , , n 变成 变换． 标准正交基       ( ), ( ), , ( ) 1 2 n ，则  为V的正交 1 1 2 2 n n     = + + x x x 1 1 2 2 , n n     = + + y y y 证明：任取  , , V 设 由    1 2 , , , n 为标准正交基，有 1 ( , ) n i i i   x y = = 

又()=∑x(6,o()=∑yg(2) 由于o(1),(E2),…,(En)为标准正交基,得 (a(a,()=∑x (a(a),o(B)=(a,B) 故σ是正交变换

9 ( ) 1 ( ), ( ) n i i i     x y = =  故  是正交变换． 1 ( ) ( ) n j j j     y = ( ) ( ), 1 =  n i i i     x = 又 =   = (      ( ), ( ) ( , ) ) 由于       ( ), ( ), , ( ) 1 2 n 为标准正交基，得

2.n维欧氏空间ⅴ中的线性变换σ是正交变换 σ在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵 证明:"→”设61,82,…“,n为V的标准正交基,且 9n o12,…CEn E.8 15 29 当σ是正交变换时,由1知,o10E2,…,OEn也是V 的标准正交基,而由标准正交基61,2,,n到标准 正交基o1,O2,…,oBn的过渡矩阵是正交矩阵

10 2. n 维欧氏空间V中的线性变换  是正交变换  在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵． 设    1 2 , , , n 为V的标准正交基，且        ( 1 2 1 2 , , , , , , n n ) = ( ) = (   1 2 , , , n ) A 证明： " "  的标准正交基， 当  是正交变换时，由1知，    1 2 , , , n 也是V 而由标准正交基    1 2 , , , n 到标准 正交基 1 2 的过渡矩阵是正交矩阵. , , ,    n