9.一个半球体状的雪堆,其体积融化的速率与半球面面积S成正比,比 考研真题十二 例常数K>0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状,已知半径为ro的 1.微分方程xy"+3y'=0的通解为 00数一考研题 雪堆在开始融化的3小时内融化了其体积的7/8,问雪堆全部融化需要多少小 2.某湖泊的水量为F,每年排入湖泊内含污染物A的污水量为V6,流 入湖泊内不含A的水量为V6,流出湖泊的水量为/3.已知1999年底湖中A 的含量为5mo,超过国家规定指标,为了治理污染,从2000年初起,限定排入 10微分方程y+y2=0满足初始条件1-=1,y1的特解 湖泊中含A污水的浓度不超过m0/V.问至多需要经过多少年,湖泊中污染物 c数一考研题 的含量降至m以内?(设湖水中A的浓度是均匀的) 11.(1)验证函数 数一考研题 3.设函数f(x)满足方程∫"(x)+∫'(x)=x,且∫(0)=0,则() (A)f(0)是f(x)极大值 (B)f(0)是∫(x)极小值 (x)=1+S3+9+…+n (C)点(0,f(0)是曲线y=f(x)的拐点 满足微分方程y”+y’+y=ex (D)f(0)不是f(x)的极值,点(0,f(0)也不是曲线y=f(x)的拐点 (2)利用()的结果求幂级数∑x”的和函数 00数二考研题 4.函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且满足等式 12.设y=y(x)是二阶常系数微分方程y"+py'+qy=e3x满足初始条 f(x)+f(r) f(r)dr 件y(0)=y(0)=0的特解,则当x→0时,函数 y(r) (1)求导数∫(x (2)证明:当x≥0时,不等式e"x≤f(x)≤1成立 00数二考研题 (A)不存在,(B)等于1;(C)等于2,(D)等于3.数二考研题 5.设y=e( CAsino+C2cosx)(C1,C2为任意常数)为某二阶常系数 13.求微分方程xdy+(x-2y)dx=0的一个解y=y(x),使得由曲线 线性齐次微分方程的通解,则该方程为 y=y(x)与直线x=1,x=2以及x轴所围成的平面图形绕x 01数一考研题 6过点(且满足关系式ymm+221的曲线方程为 旋转体体积最小 ①数二考研题 14.设函数y=y(x)在(∞,+∞)内具有二阶导数,且y'≠0,x=x(y) 7.设函数f(x,g(x)满足f(x)=g(x),g'(x)=2e-f(x)且f(0)=0 y=y(x)的反函数 c数一考研题 g(0)=2,求 ∫12-a1 (1)试将x=x(y)所满足的微分方程 0数二考研题 +(y+sinx 8.设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的 距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点(1/2,0)数二考研题 变换为y=y(x)所满足的微分方程 (1)试求曲线L的方程 )求变换后的微分方程满足初始条件y0)=0,y(0=号的解 (2)求L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所 围成的图形的面积最小 15.已知是微分方程y=2+ (引)的解,则叫(引的表达式为
考研真题十二 ( ) (0) ( ) , (0, (0)) ( ) . ( ) (0, (0)) ( ) ; ( ) (0) ( ) ; ( ) (0) ( ) ; 3. ( ) ( ) ( ) , (0) 0, ( ). ? ). . , 5 , . , 2000 , 3 . 1999 2. , 6 , 0 0 0 不是 的极值 点 也不是曲线 的拐点 点 是曲线 的拐点 是 极大值 是 极小值 设函数 满足方程 且 则 以内 设湖水中 的浓度是均匀的 污水的浓度不超过 问至多需要经过多少年 湖泊中污染物 的含量为 超过国家规定指标 为了治理污染 从 年初起 限定排入 的水量为 已知 年底湖中 某湖泊的水量为 每年排入湖泊内含污染物 的污水量为 流 D f f x f y f x C f y f x A f f x B f f x f x f x f x x f A m A A m V m A V A V A V = = + = = 入湖泊内不含 ( 7. ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) 2 ( ), (0) 0, 1 ___. 1 , 0) arcsin 2 1 6. ( , ____________ . 5. ( sin cos ) , ) (2) : 0 , ( ) 1 . (1) ( ); ( ) 0 , 1 1 ( ) ( ) 4. ( ) [ 0 , ) , (0) 1, 2 1 2 1 2 0 设函数 满足 且 过点 且满足关系式 的曲线方程为 线性齐次微分方程的通解 则该方程为 设 为任意常数 为某二阶常系数 证明 当 时 不等式 成立 求导数 函数 在 上可导 且满足等式 f x g x f x g x g x e f x f x y y x y e C x C x C C x e f x f x f t dt x f x f x f x f x x x x = = − = = − + = + = + + − + = − ( 00数二考研题 00数二考研题 00数二考研题 01数一考研题 01数二考研题 V 6 , 流出湖泊的水量为 湖泊中含 的含量降至 1. 微分方程 xy + 3y = 0 的通解为 __________ . 00数一考研题 / . (2) , (1) ; , (1/2 , 0). 8. , ( , ) 0) 围成的图形的面积最小 求 位于第一象限部分的一条切线 使该切线与 以及两坐标轴所 试求曲线 的方程 距离恒等于该点处的切线在 轴上的截距 且 经过点 设 是一条平面曲线 其上任意一点 到坐标原点的 L L L y L L P x y ( x 01数二考研题 . ] (1 ) ( ) 1 ( ) [ (0) 2, 0 求 2 dx x f x x g x g + − + = 01数二考研题 32 . . . ( ) 1, 2 13. ( 2 ) 0 ( ), ( ). ( ) ln(1 ) (0) (0) 0 , 0 , 12. ( ) . (3 )! (2) (1) 2 3 0 3 旋转体体积最小 与直线 以及 轴所围成的平面图形绕 轴旋转一周的 求微分方程 的一个解 使得由曲线 的特解 则当 时 函数 的极限 设 是二阶常系数微分方程 满足初始条 利用 的结果求幂级数 的和函数 y y x x x x x xdy x y dx y y x y x x y y x y y x y py qy e n x x n n = = = + − = = + = = → = + + = = ; ( ) 3! 6! 9! (3 )! ( ) 1 11. 1) ____________ . 2 1 10. 0 1, 3 6 9 3 0 0 2 满足微分方程 验证函数 是 微分方程 满足初始条件 y y y e x n x x x x y x y y y y y x n x x + + = = + + + + + + − + + = = = = = ( 的特解 ( ) . ( ) ( , ) , ' 0 , ( ) 是 的反函数 设函数 在 内具有二阶导数 且 = = − + = y y x 14. y y x y x x y 02数一考研题 02数一考研题 02数二考研题 02数二考研题 03数一考研题 ? 3 7/ 8 , 0 . , 9. , , 0 小时内融化了其体积的 问雪堆全部融化需要多少小 假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状 已知半径为 的 一个半球体状的雪堆 其体积融化的速率与半球面面积 成正比 比 K r S 例常数 雪堆在开始融化的 时 01数二考研题 件 (A) 不存在; (B) 等于1; (C) 等于2; (D) 等于3. . 2 3 (2) (0) 0, '(0) ( ) ; 求变换后的微分方程满足初始条件 的解 变换为 所满足的微分方程 = = = y y y y x (1) 试将 x = x ( y) 所满足的微分方程 0 ) ( sin ) 3 2 2 + + = dy dx y x dy d x ( ( ) , ( ) ' ln 15. y x y x x y y x x 已知 y = 是微分方程 = + 的解 则 的表达式为 33 .
22.用变量代换x=cost(00)的通解为 04数一考研题 (C)y+y-2y=3xe, (D)y+y'-2y=3e. 18.某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾 6.二阶常系数非齐次线性微分方程 07数一、二考研题 部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h.经测试,减速伞打开后,飞机所受的 的通解为y= 总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=60×106)问从着陆点算起,飞 求微分方程y”(x+y2)=y’满足初始条件 07数二考研题 机滑行的最长距离是多少? y(1)=y(1)=1 (注kg表示千克,km/h表示千米/小时) 的特解 19.微分方程(y+x)dx-2d=0满足y1-1=3的特解为 20.微分方程y+y=x2+1+sinx的特解形式可设为().0数二考研题 (A)y'=ax+br+c+x(Asin x+ Bcosx): (C)y=ax2+bx+c+Asin.x D)y=ax+ br+c+Acos.x 21.微分方程xy+2y=xlnx满足y(1)=--的解为 05数一、二考研题
y x = ( y) y O − 2 2 x ( : , ). (2) ( ) . ; (1) , ( ) , ). 注 表示长度单位米 表示时间单位分 求曲线 的方程 之间的关系式 根据 时刻液面的面积 写出 与 假设注入液体前 x y t t y = 容器内无液体 03数二考研题 ( , /min ( ), 2 . , 3 /min , ( ) 0 ) 2 3 的速度均匀扩大 的速率向容器内注入液体时 液面的面积将以 的旋转曲面 如图 容器的底面圆的半径为 根据设计要求 当以 有一平底容器 其内侧壁是由曲线 绕 m m m x y y 16. = ( y 轴旋转而成 17. 4 2 0 ( 0) ______. 2 2 欧拉方程 2 + + y = x 的通解为 dx dy x dx d y x 04数一考研题 , / ? ( 6.0 10 ). , , 700 / . , , , , . 9000 18. , , , 6 注 表示千克 表示千米/小时 机滑行的最长距离是多少 总阻力与飞机的速度成正比 比例系数为 问从着陆点算起 的飞机 着陆时的水平速度为 经测试 减速伞打开后 以增大阻力 使飞机迅速减速并停下 现有一质量为 某种飞机在机场降落时 为了减少滑行距离 在触地的瞬间 飞机尾 kg km h k km h kg = 部张开减速伞 04数一、二考研题 ______ . 5 6 19. ( ) 2 0 | 1 微分方程 y + x 3 dx − xdy = 满足 y x = = 的特解为 04数二考研题 (A) (B) (C) (D) ( ). ; 2 2 x y − ; 2 2 x y ; 2 2 y x − . 2 2 y x 03数二考研题 飞机所受的 飞 ( ). m min (D) cos . (C) sin ; (B) ( sin cos ); (A) ( sin cos ); 20. 1 sin ( ). 2 2 2 2 2 y ax bx c A x y ax bx c A x y x ax bx c A x B x y ax bx c x A x B x y y x x = + + + = + + + = + + + + = + + + + + = + + 微分方程 的特解形式可设为 04数二考研题 21. 微分方程 xy + 2y = x ln x 满足 9 1 y(1) = − 的解为 _________. 05数一、二考研题 34 . . 22. 用变量代换 x = cost (0 t ) 化简微分方程 (1 ) 0, 2 − x y − xy + y = 并求其满足 y | x = 0 = 1, y | x = 0 = 2 的特解. 05数二考研题 (1) 验证 ( ) + = 0 u : f u ; f (u) (2) 若 f (1) = 0, f (1) =1, 求函数 f (u)的表达式. 0 2 2 2 2 = + y z x z 24. 设函数 f (u) 在 0 内具有二阶导数 ( ) 2 2 ( , ) , 且 z = f x + y 系式 25. 函数 x x x y = C e + C e + xe −2 1 2 满足一个微分方程是 ( ). (A) x y − y − 2y = 3xe (B) x ; y − y − 2y = 3e ; (C) x y + y − 2y = 3xe (D) x ; y + y − 2y = 3e . 23. 微分方程 x y x y (1 − ) = 的通解是 . 06数一、二考研题 06数一、二考研题 06数二考研题 满足关 26. 二阶常系数非齐次线性微分方程 x y y y e 2 − 4 + 3 = 2 的通解为 y = ____________. 07数一、二考研题 27. 求微分方程 y ( x + y ) = y 2 满足初始条件 y (1) = y (1) = 1 的特解. 07数二考研题 35 .
