s5子空间 、正交子空间 子空间的正交补
1 一、正交子空间 二、子空间的正交补
、欧氏空间中的正交子空间 1.定义: 1)V与V2是欧氏空间ⅴ中的两个子空间,如果对 c∈ 19 B∈V2,恒有 (a,B)=0, 则称子空间V与V2为正交的,记作V⊥V2 2)对给定向量a∈V,如果对vB∈H,恒有 (a,B)=0, 则称向量a与子空间V正交,记作a⊥V 2
2 一、欧氏空间中的正交子空间 1．定义： 1) V1 与 V2 是欧氏空间V中的两个子空间，如果对 ( , ) 0, = 则称子空间 V1 与 V2 为正交的，记作 1 2 V V⊥ . ( , ) 0, = 则称向量 与子空间 正交，记作 1 ⊥ V . V1 1 2 V V , , 恒有 2) 对给定向量 V , 如果对 V1 , 恒有
注: ①V⊥V当且仅当V中每个向量都与V2正交, ②V⊥V2→V∩V2={0 (∵Va∈1nv2→(a,a)=0→a=0.) 8当a⊥V且a∈V1时,必有a=0
3 注： ① V V 1 2 ⊥ 当且仅当 V1 中每个向量都与 V2 正交． ② 1 2 1 2 V V V V ⊥ = {0}. ③ 当 ⊥ V1 且 V1 时，必有 = 0. ( ) 1 2 = = V V ( , ) 0 0
2.两两正交的子空间的和必是直和 证明:设子空间V1,V2,…V两两正交 要证明V⊕V2⊕…⊕V,只须证: V+V2+…+V中零向量分解式唯 设a1+a2+…+a。=0,c;∈V,i=1,2,…,s H1,i≠j (a;,0)=(a1,1+a2+…+a,)=(cx;,r)=0 由内积的正定性,可知a1=0,i=1,2,…,s
4 证明：设子空间 V V V 1 2 ,,, s 两两正交， 2．两两正交的子空间的和必是直和． 1 2 , 要证明 V V V s V V V 1 2 + + + s 中零向量分解式唯一． 只须证： 设 1 2 0, , 1,2, , + + + = = s i i V i s , V V i j i j ⊥ 1 2 ( ,0) ( , ) ( , ) 0 = + + + = = i i s i i 由内积的正定性，可知 0, 1,2, , . i = =i s
二、子空间的正交补 1.定义: 如果欧氏空间Ⅴ的子空间V1,V2满足v⊥V2,并且 V+V2=V,则称V2为V的正交补 2.n维欧氏空间V的每个子空间V都有唯一正交补 证明:当V1={0}时,V就是V的唯一正交补 当V1≠{0}时,V也是有限维欧氏空间 取V的一组正交基E1,E2,…,Em
5 二、子空间的正交补 1．定义： 如果欧氏空间V的子空间 V V1 2 , 满足 V V 1 2 ⊥ , 并且 则称 为 的正交补. 1 2 V2 V1 V V V + = , 2． 维欧氏空间V的每个子空间 都有唯一正交补. V1 n 证明：当 V1 = {0} 时，V就是 V1 的唯一正交补． 当 时， 也是有限维欧氏空间. 1 V1 V {0} 1 2 , , , , m 取 的一组正交基 V1
由定理1,它可扩充成Ⅴ的一组正交基 19c2 n +19 9n 记子空间L(m,,n)=V2 显然,V+V2=V 又对Va=x61+x2E2+…+ C.8∈V B=xm+Em+…+xnEn∈V2, a,月)=Cx,∑x)=∑∑xx,(=,)=0 i=1j=m+1 V1⊥V2即V2为V的正交补
6 由定理1，它可扩充成V的一组正交基 1 2 1 , , , , , , , m m n + 记子空间 L V ( m n +1 2 , , . ) = 1 2 显然, V V V + = . 又对 1 1 2 2 1 , m m = + + + x x x V 1 1 2 , m m n n = + + x x V + + 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) 0 m n m n i i j j i j i j i j m i j m x x x x = = + = = + = = = 1 2 ⊥ V V . 即 为 的正交补. V2 V1
再证唯一性.设V2,是V的正交补,则 =v1⊕V2=V1⊕V 对a∈V2,由上式知a∈V曲1 即有a=a1+ax3,a1∈V1,a3∈ 又H⊥2,V1⊥V 1⊥a3,C⊥a1, 从而有(a,a1)=(a1+a3,1)=(a1,a1)+(a3,a1) (ax1,c1)=0 由此可得a1=0,即有a∈V3 同理可证VsV,∴H2=13·唯一性得证
7 再证唯一性. 设 V V2 3 , 是 V1 的正交补，则 V V V V V = = 1 2 1 31 3 1 ⊥ ⊥ , , 1 1 3 1 ( , ) ( , ) = + 由此可得 1 = 0, 2 3 V V . 对 V2 , 由上式知 V V 1 3 1 3 1 1 3 3 即有 = + , , V V 又 1 2 1 3 V V V V ⊥ ⊥ , = ( , ) 1 1 = 0 1 1 3 1 从而有 = + ( , ) ( , ) 即有 V3 同理可证 3 2 V V , 2 3 = V V . 唯一性得证
注:①子空间w的正交补记为W1.即 W={a∈a⊥W ②n维欧氏空间V的子空间W满足: i)(W)2=W ii)dimw+dimw-=dimv=n i)W⊕W-= iv)W的正交补W必是W的余子空间 但一般地,子空间W的余子空间未必是其正交补
8 ② n 维欧氏空间V的子空间W满足: ① 子空间W的正交补记为 W ⊥ . 即 i) ( ) W W ⊥ ⊥ = ii) dim dim dim W W V n ⊥ + = = iii) W W V ⊥ = 注： ⅳ) W的正交补 W 必是W的余子空间. ⊥ 但一般地，子空间W的余子空间未必是其正交补. W V W ⊥ = ⊥
3.内射影 设W是欧氏空间V的子空间,由V=W⊕W 对a∈,有唯一的a1∈W,α2∈W,使 a=a+a2 称∝1为a在子空间W上的内射影
9 称 为 在子空间W上的内射影. 1 3．内射影 V W W , ⊥ 设W是欧氏空间V的子空间，由 = 对 有唯一的 1 2 W W , , 使 ⊥ V, = +1 2