16重因式 k重因式 二、重因式的判别和求法
一、k 重因式 二、重因式的判别和求法
、重因式 定义设p(x为数域P的不可约多项式,f(x)∈P|x, 若p(x)f(x),但p(x)+f(x), 则称p(x)为f(x)的k重因式 若k>1,则称P(x)为f(x)的重因式 若k=1,则称p(x)为∫(x)的单因式 (着k0,p(环是的式)
一、重因式 设 p x( ) 为数域P的不可约多项式， f x x ( ) P[ ] , 则称 p x( ) 为 f x( ) 的 k 重因式. 若 k >1, 则称 为 的重因式. p x( ) f x( ) （若 k =0， p x( ) 不是 f x 的因式 ( ) ) 若 ( ) | ( ) ，但 k p x f x 1 ( ) | ( ) , k p x f x + 定义 若 k ＝1, 则称 为 的单因式. p x( ) f x( )
、重因式的判别和求法 1.若∫(x)的标准分解式为 f(=cp,(x)p,(x) . p's(x) 则p(x)为f(x)的r重因式.i=1,2,… r=1时,P2(x)为单因式; F>1时,P(x)为重因式
1. 若 f x( ) 的标准分解式为： 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) s r r r s f x cp x p x p x = 则 ( ) 为 的 ri 重因式 . i s = 1,2, i p x f x( ) 1 时， 为单因式 ; i r = ( ) i p x 1 时, 为重因式 . i r ( ) i p x 二、重因式的判别和求法
2.定理6 若不可约多项式P(x)是f(x)的k重因式(k≥1), 则它是∫(x)的微商∫(x)的k-1重因式 证:假设f(x)可分解为 f(x)=p(x)g(x),其中p(x)+g(x) f(x)=p(x) kg(x)p(x)+p(x),'(x)) →p-(x)f(x)
2. 定理6 若不可约多项式 p x( ) 是 f x( ) 的 k 重因式 ( 1 ), k 证: 假设 f x( ) 可分解为 ( ) ( ) ( ) , k f x p x g x = ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k f x p x kg x p x p x g x − = + 1 ( ) | ( ) . k p x f x − 其中 p x g x ( ) | ( ) . 则它是 的微商 f x( ) 的 k − 1 重因式. f x( )
a h(x)=kg(x)p(x)+p(x)g(x) P(x)tg(x) p()tp(x) p(x)t kg(xp(x),= p()th(x) →p^(x)+∫(x) p(x)是∫(x)的k-1重因式 注意定理6的逆命题不成立,即 P(x)为∫(x)的k-1重因式,但p(x未必是∫(x) 的種因式
令 h x kg x p x p x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , = + p x( ) 是 f x ( ) 的 k − 1 重因式 p x g x ( ) | ( ) 且 p x p x ( ) | ( ) , p x kg x p x ( ) | ( ) ( ) , p x h x ( ) | ( ) ( ) | ( ) k p x f x p x( ) 为 f x ( ) 的 k − 1 重因式，但 p x( ) 未必是 f x( ) 的 k 重因式. 注意 定理6的逆命题不成立，即
推论1 若不可约多项式P(x)是f(x)的k重因式(k≥1), 则p(x)是∫(x),f(x)…,f=(x)的因式,但不是 fk(x)因式 音音音音音面音音音面面音垂音音 推论2 不可约多项式p(x)是∫(x)的重因式 分→p(x)是f(x)与∫(x)的公因式
推论1 若不可约多项式 是 的 重因式 则 是 的因式，但不是 的因式. p x( ) ( )( ) k f x f x( ) ( 1) , k p x( ) ( 1) ( ), ( ), , ( ) k f x f x f x − k 推论2 不可约多项式 p x( ) 是 f x( ) 的重因式 是 f x( ) 与 的公因式. p x( ) f x ( )
推论3 多项式f(x)没有重因式兮→(f(x),f(x)=1. 推论4 f(x)∈PIx,若(f(x,f(x)=1(x)…p,(x), 其中p(x)为不可约多项式,则P(x)为f(x) 的r+1重因式
推论3 推论4 多项式 f x( ) 没有重因式 = ( ( ), ( )) 1 . f x f x ，若 其中 为不可约多项式， 则 为 的 重因式. f x( ) f x x ( ) P[ ] 1 1 ( ( ), ( )) ( ) ( ) , s r r s f x f x p x p x = ( ) i p x ( ) i p x i 1 r +
说明 根据推论3、4可用辗转相除法,求出(f(x),∫(x) 来判别∫(x是否有重因式.若有重因式,还可由 (∫(x),f(x)的结果写出来 例1.判别多项式∫(x)有无重因式 f(x)=x5-10x3-20x2-15x-4
根据推论3、4可用辗转相除法，求出 ( ( ), ( )) f x f x 说明 来判别 f x( ) 是否有重因式．若有重因式 ，还可由 ( ( ), ( )) f x f x 的结果写出来. 5 3 2 f x x x x x ( ) 10 20 15 4 = − − − − 例1. 判别多项式 f x( ) 有无重因式
推论5 ··音看····· 不可约多项式p(x)为f(x)的k重因式 分冷p(x)为(f(x),f(x)的k-1重因式 注 f(r) f(x)与(f(x),r(x)有完全相同的不可约因式, f(r) (f(x),f(x)) 的因式皆为单因式
推论5 注: 不可约多项式 为 的 重因式 为 的 重因式. f x( ) p x( ) p x( ) k ( ( ), ( )) f x f x k − 1 f x( ) 与 有完全相同的不可约因式， ( ) ( ( ), ( )) f x f x f x ( ) ( ( ), ( )) f x 且 f x f x 的因式皆为单因式