第四节矩阵的秩 定义15所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的 秩;矩阵的列秩就是指矩阵的列向量组的秩 31 例1求矩阵A 的秩 0005 解矩阵A的行向量 13 3=(0005)a4=(0
1 第四节 矩阵的秩 定义15 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的 秩；矩阵的列秩就是指矩阵的列向量组的秩. 例1 . 0 0 0 0 0 0 0 5 0 2 1 4 1 1 3 1 求矩阵 的 秩 − A = 解 矩阵A的行向量 ( ) ( ) (0 0 0 5) (0 0 0 0) 1 1 3 1 0 2 -1 4 3 4 1 2 = = = =
可以证明a1,a2,a3是a1,a2a3,a4的一个极大线性 无关组 由 k201+k2C2+k3C3=0 k1(,3,1)+k20,2,14)+k3(0,0,0.5) =(k1,k1+2k2,3k1-k2,k1+4k2+5k3)=0 可得k1=k2=k3=0 线性无关性得证 又因为a4是零向量,因此a1,a2,a3,a4线性相关 证明了a,a2a3是ax1,a2,a3,aα4的极大无关组 矩阵A的行秩为3
2 可以证明 1 , 2 , 3 是 1 , 2 , 3 ,4 的一个极大线性 无关组. 由 k1 1 + k2 2 + k3 3 = 0 即 ( ) ( ) ( ) ( , 2 , 3 , 4 5 ) 0 1,1,3,1 0,2,-1,4 0,0,0,5 1 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 = + − + + = + + k k k k k k k k k k k 可得 k1 = k2 = k3 = 0 线性无关性得证 . 又因为 4 是零向量，因此 1 2 3 4 线性相关. , , , 证明了 是 的极大无关组. 1 2 3 , , 1 2 3 4 , , , 矩阵A的行秩为3
引理如果齐次线性方程组 aux,+au2x2+.+aunxn=0 21x1+a2x2+…+a2nxn=0 a,x,+a.x2++x.=0 sn n 的系数矩阵 12 n 2 的行秩r<n,那么方程组有非零解
3 引理 如果齐次线性方程组 (1) 0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 + + + = + + + = + + + = s s s n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 的系数矩阵 (1 ) 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = s s s n n n a a a a a a a a a A 的行秩r<n，那么方程组有非零解
证明以a1,a2…,a,代表矩阵A的行向量组 不妨设ax1,a2,…,∝r是一个极大线性无关组,那么 向量组a1202,…,a,与1,a2…等价 从而方程组(1)等价于 a1x1+a12x,+…+a1nxn=0 n ,,x,+,x2+…+l2.=0 nn anx1+an,x2+…+anxn=0 所以,方程组(1)与方程组(2)同解 方程组(2)有非零解
4 证明 以 代表矩阵A的行向量组. s , , , 1 2 不妨设 1 ,2 , ,r 是一个极大线性无关组，那么 向量组 与 等价. s , , , 1 2 r , , , 1 2 从而方程组（1）等价于 (2) 0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 + + + = + + + = + + + = r r r n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 所以，方程组(1)与方程组(2)同解. 方程组(2)有非零解
定理4矩阵的行秩与列秩相等 证明设矩阵(1)的行秩=r,列秩=1,先证r≤7 矩阵(1)的行向量组为a1,a2…,a,,不妨设 1929 ,ar是它的极大线性无关组,如果有 x1Cx1+x2o,+…+xor=0 63) 那么,它只有零解 注意向量方程(3)表示的齐次线性方程组
5 定理4 矩阵的行秩与列秩相等. 证明 设矩阵 (1) 的行秩=r , 列秩=r1 , 先证 . 1 r r 矩阵 的行向量组为 s , , , (1) 1 2 ，不妨设 r , , , 1 2 是它的极大线性无关组，如果有 0 (3) x1 1 + x2 2 ++ xr r = 那么，它只有零解. 注意向量方程（3）表示的齐次线性方程组
1X1+a21k2+…+an1xr=0 12x1+a2x2+…+an2Xr=0 a1nX1+a2nx2+…+amX=0 只有零解.对应的系数矩阵 12 n 的行秩≥r,向量组中存在r个线性无关的向量, 不妨设为
6 0 0 0 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 + + + = + + + = + + + = n n r n r r r r r a x a x a x a x a x a x a x a x a x 只有零解. 对应的系数矩阵 r, n n rn r r a a a a a a a a a 1 2 12 22 2 11 21 1 的行秩 向量组中存在r 个线性无关的向量， 不妨设为
119215 ,an1)2(a1 129u225 ),……( 92r 将其扩成矩阵(2)的列向量 119u21,ur1 ,c,1),(a12,a2,…,an2 9s2 91r,u2r9 仍线性无关.从而有矩阵A的列秩≥F 用同样的方法可以证明r≥2定理得证 矩阵的行秩和列秩都称为矩阵的秩
7 ( , , , ),( , , , ), ,( , , , ) a11 a21 ar1 a12 a22 ar2 a1r a2r arr 将其扩成矩阵（2）的列向量 ,( , , , , ) ( , , , , ),( , , , , , ), 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 r r r r s r r s r s a a a a a a a a a 仍线性无关. 从而有矩阵A的列秩 . 1 r r 用同样的方法可以证明 , 1 r r 定理得证. 矩阵的行秩和列秩都称为矩阵的秩
定理5n×n矩阵 12 21 22 2n 2 n 的行列式为零的充分必要条件是矩阵A的秩小于n 证明充分性 因为A的秩小于n,所以A的行向量线性相关 当n=1时,A只有一个数,由相关性知,an1=0 从而|A4=0=0
8 定理5 nn 矩阵 = n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 的行列式为零的充分必要条件是矩阵A的秩小于n. 证明 充分性 因为A的秩小于n，所以A的行向量线性相关. 当n=1时，A只有一个数，由相关性知， a11 = 0 从而 A = 0 = 0
当n>1时,A中有一行可以表为其它行的线性组 合,据此,这行可以被消成0 由行列式性质知=0 证明必要性对n作数学归纳法 当n=1时,由A4=0知A的仅有的一个元素为0 因而A的秩为0 假设A的第一列非零(否则,得证).不妨设a1≠0 有 12 0 22 2n 11 0 n2
9 当 n >1时，A中有一行可以表为其它行的线性组 合，据此，这行可以被消成 0 . 由行列式性质知 A = 0. 证明必要性 对n 作数学归纳法 当n =1时，由 A = 0 知A的仅有的一个元素为 0 . 因而A的秩为 0 . 假设A的第一列非零（否则，得证）. 不妨设 a11 0 有 n nn n n nn n n a a a a a a a a a a a a A = = 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 0 0
22 2n 由 0 n2 有 n-1 0 由归纳法假设,矩阵A1的行向量组线性相关 注意线性相关向量组的性质和初等变换的可逆性 A的行向量组线性相关,A的秩小于n 必要性得证
10 0 ~ 1 1 1 2 2 2 2 1 1 = = = n− n nn n a A a a a a A a 由 0 ~ 有 An−1 = 由归纳法假设，矩阵 1 的行向量组线性相关 . ~ An− 注意线性相关向量组的性质和初等变换的可逆性. 必要性得证. A的行向量组线性相关，A的秩小于 n