第六节行列式按一行(列)展开 先回忆一下三阶行列式的计算 a1a12a13 21022023 12 +(13 32033 31033 3132 313233 可以观察到如下事实: (1)a1后面的行列式是由三阶行列式划去该元素所在 的行和列后剩下的二阶行列式; (2)a1,前面的符号由-)决定
1 第六节 行列式按一行（列）展开 先回忆一下三阶行列式的计算： 11 12 13 22 23 21 23 21 22 21 22 23 11 12 13 32 33 31 33 31 32 31 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = − + 可以观察到如下事实： 的行和列后剩下的二阶行列式； 后面的行列式是由三阶行列式划去该元素所在 a1 j (1) (2) ( 1) . 1 a1 j 前面的符号由− + j 决定
按照上述思想,我们引入余子式和代数余子式 的概念 定义在m阶行列式an|中,把元素所在的第行和 第列划去后,留下来的阶行列式 11 1-1j+1 1+1 7+1n n J J 叫做元素a的余子式,记们M;记A=(-1)Mn A,叫做元素a的代数余子式 2
2 按照上述思想，我们引入余子式和代数余子式 的概念： 定义 第 列划去后，留下来的 阶行列式 在 阶行列式 中，把元素 所在的第行 和 1 | | j n − n a a i i j i j . ( 1) , 叫做元素 的代数余子式 叫做元素 的余子式，记作 ； 记 i j i j i j i j i j i j i j A a a M A M + = − 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 j j n i i j i j i n i i j i j i n n n j n j nn a a a a a a a a a a a a a a a a − + − − − − + − + + − + + + − +
引理一个n阶行列式D,如果其中第行所有元素除n外 都为零,则D=a 证明分析 i-1,j+1 1.n D 0 i+1,j-1 +1 +1,+1 +1
3 引理 . i j i j i j D a A n D i a 都为零，则 = 一 个 阶行列式 ，如果其中第行所有元素除 外 证明分析 D = n n j n j n j n n i i j i j i j i n i j i i j i j i j i n j j j n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1 , 1 , 1 1,1 1, 1 1, 1, 1 1, 1,1 1, 1 1, 1, 1 1, 1 1 1, 1 1 1, 1 1 0 0 0 0 − + + + − + + + + − − − − − + − − +
n J l-1,n (-1) i+1,j-1 1+1,J , n n,y- n,+ 0 0 0 0 j+1 n (-1)0)n)la 1+1,J i+1,+1 +1,n i+1, n n,j+1 0 0 0 0 4
4 0 0 0 0 ( 1) 1 , 1 , 1 1,1 1, 1 1, 1, 1 1, 1,1 1, 1 1, 1, 1 1, 1 1 1, 1 1 1, 1 1 i j n n j n j n j n n i i j i j i j i n i i j i j i j i n j j j n n i a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − + + + − + + + + − − − − − + − − + − = − i j n n j n j n n n j i i j i j i n i j i i j i j i n i j j j n j n i n j a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 0 0 0 0 ( 1) 1 , 1 , 1 1,1 1, 1 1, 1 1, 1, 1,1 1, 1 1, 1 1, 1, 1 1 1, 1 1, 1 1 1 ( ) ( ) − + + + − + + + + − − − − + − − − + − + − = −
由于 1,-1i-1,j+1 l-1,n i+1.1 i+1,j-1 l+1,n 0 0 0 0 ∑ b,b∴b.,,b 元02j2 小J2 z(/2…n-1) bb2n…bn=nan 小1J2…/n
5 i j n n j n j n n n j i i j i j i n i j i i j i j i n i j j j n j a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 0 0 0 0 1 , 1 , 1 1,1 1, 1 1, 1 1, 1, 1,1 1, 1 1, 1 1, 1, 1 1 1, 1 1, 1 1 1 − + + + − + + + + − − − − + − − 由于 − + − − − = − − n n n n n n j j j j j j n j nj j j j j b b b b 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1, ( ) ( 1) − − − = − − 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1, ( ) ( 1) n n n j j j j j n j i j j j j b b b a = aijMij
所以 D=(-1) 2n 定理 设D=an1lmn,A表示元素a的代数余子式,则下列 公式成立: D, k=i an1A1+a12A,+…+aA 0,k≠ D, l A1;+an,A2;+…+anA 即 D, k D,7=j (0,k≠
6 所以 ( 1) ( 1) . 2 i j i j i j i j i j i j i j n i j D = − a M = − M a = a A − − + 定理 公式成立： 设D =| ai j |n n ，Ai j表示元素ai j的代数余子式，则下列 = + + + = k i D k i ak Ai ak Ai aknAi n ，，0 1 1 2 2 = + + + = l j D l j a l A j a l A j an l An j ，，0 1 1 2 2 即 , = = = k i D k i a A n s ks i s ， ， 1 0 = = = l j D l j a A n s sl sj ， ， 1 0
证明行列式D可以表示为 12 D +0+…+00+ 0++0+ 由行列式性质3得 a10…0+0a,0…0+…+|0.…0a In anA1+an242+…+anAn(引理)
7 证明 11 12 1 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 n i i in n n nn a a a D a a a a a a = + + + + + + + + + 行列式 D 可以表示为 1 2 0 0 0 0 0 0 0 i i in = + + + a a a i i i i in in 1 1 2 2 = + + + a A a A a A . 由行列式性质 3 得 （引理）
对于≠情形,这是因为 x1212h2+…+孓小 x1=C119x 则有
8 对于k i的情形，这是因为 , n n n k kn n n k k n kn a a a a x x a a x A x A x A 1 1 1 1 1 1 1 1 + 2 2 + + = 令 x1 = ak1 ，x2 = ak 2 ，，xn = akn，则有
kI ak141+ak242+…+amAm= =0 k1 同理可以证明列的情形
9 同理可以证明列的情形. k i k i kn in 1 1 2 2 a A a A a A + + + . 11 1 1 1 1 ( ) 0 ( ) n k kn k kn n nn a a a a i a a k a a = =
例1计算 D 2000}(答案:32) 153-3
10 例1 计算 . 1 5 3 3 2 0 0 0 5 1 3 4 3 1 1 2 − − − − − D = （答案：32）