第七节 Cramer法则 n元线性方程组 1x1+a12x2+…+anxn=b1 X,+a 设线性方程组 21~1 22~2 nn ar+aax 2 2 +∴+.x.=b n nn 若常数项,b2…b不全为零则称此方程组为非 齐次线性方程组;若常数项b1,b2…b全为零 此时称方程组为齐次线性方程组
1 第七节 Cramer 法则 一 n 元线性方程组 + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 设线性方程组 , , , , 若常数项b1 b2 bn 不全为零 则称此方程组为非 齐次线性方程组; , , , , 若常数项b1 b2 bn 全为零 此时称方程组为齐次线性方程组
二 Cramer法则 如果线性方程组 11~1 122 nn 1X1+a2x+.+a n Lanxi+an2x2+.+ammon=bm 的系数行列式不等于零,即 D 22 n≠0 2 2
2 二 Cramer 法则 如果线性方程组 (1) 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 的系数行列式不等于零，即 n n nn n n a a a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 12 1 = 0
那么线性方程组(1)有解,并且解是唯一的, 解可以表为 2 其中D是把系数行列式D中第j列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式,即 11 b In n,/ n,j+1 nn
3 , , , , , 2 3 2 2 1 1 D D x D D x D D x D D x n = = = n = 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 Dj D j n . 1 , 1 , 1 1 1 1, 1 1 1, 1 1 n n j n n j n n j j n j a a b a a a a b a a D − + − + = 那么线性方程组（1）有解，并且解是唯一的， 解可以表为
证明 用D中第列元素的代数余子式;,A 依次乘方程细的n个方程得 (a1x1+a12x2+…+4nx)4=bA 21x 222+.、分4vsb24-j n1x1+2m2x2+、、、 dinan nj=0n2可 再把n个方程依次相加,得
4 证明 ( ) ( ) ( ) . 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 + + + = + + + = + + + = n n n n n n j n n j n n j j n n j j a x a x a x A b A a x a x a x A b A a x a x a x A b A 依次乘方程组( )的 个方程 得 用 中 第 列元素的代数余子式 1 , , , , 1 2 n D j A j A j An j 再把 n 个方程依次相加，得
k12k1+…… k际 kn kj k=1 k=1 k=1 ∑b4g, k=1 由代数余子式的性质可知,上式中x的系数等于D, 而其余x(≠)系数均为;又等式右端为D 于是Dx=D(=1,2,…,n) 当D≠0时,方程组(2)有唯一的一个解 D
5 , 1 1 1 1 1 1 = = = = = + + + + n k k k j n n k j k n k j n k k j k j n k k k j b A a A x a A x a A x 由代数余子式的性质可知, Dx D ( j 1,2, ,n). j = j = . D D , , x D D , x D D , x D D x n = = = n = 2 3 2 2 1 1 x D, 上式中 j的系数等于 而其余x (i j)的系数均为0; i . 又等式右端为Dj 于是 (2) 当 D 0 时,方程组 (2) 有唯一的一个解
由于方程组(2)与方程组()等价,故 D D D 也是方程组的()解 注 (1)方程组(1)的系数行列式D≠O,①有解且 只有唯一解 (2)若方程组0无解或有两个不同的解,则0 的系数行列式D=0
6 由于方程组 (2) 与方程组 (1) 等价, 故 . D D , , x D D , x D D , x D D x n = = = n = 2 3 2 2 1 1 也是方程组的 (1) 解. 注 . (1) 0 1 只有唯一解 方程组 的系数行列式 ， （）有解且 (1) D 0. (2) 1 1 的系数行列式D = 若方程组（）无解或有两个不同的解，则（）
例1用 Cramer法则解方程组 2x1+x2-5x3+x4=8, x1-3x2-6x4=9 2. x2+2. 4 5 +4x,-7. 0. +6x=0 解 21-51 07 513 30-6n 2 1-30-6 D 02-124 12
7 例1 用 Cramer 法则解方程组 + − + = − + = − − − = + − + = 4 7 6 0. 2 2 5, 3 6 9, 2 5 8, 1 2 3 4 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x 解 1 4 7 6 0 2 1 2 1 3 0 6 2 1 5 1 − − − − − D = 1 2 2 r − r 4 2 r − r 0 7 7 12 0 2 1 2 1 3 0 6 0 7 5 13 − − − − −
7-513 3-53 C1+2c2 10 3+2c2 7-712 7-7-2 33 27 81-51 28-51 3 -6 D 52 01 0-5-12 0-76 81 108
8 7 7 12 2 1 2 7 5 13 − − − = − 1 2 2 c + c 3 2 2 c + c 7 7 2 0 1 0 3 5 3 − − − − − − − 7 2 3 3 − − − = = 27, 0 4 7 6 5 2 1 2 9 3 0 6 8 1 5 1 1 − − − − − − D = = 81, 1 0 7 6 0 5 1 2 1 9 0 6 2 8 5 1 2 − − − − − D = = −108
181 2158 1-39 1-309 D3 02-52 2 70 -27 =27, D181 108 3, D27 D27 D,-27 D,27 D27 D27
9 1 4 0 6 0 2 5 2 1 3 9 6 2 1 8 1 3 − − − D = = −27, 1 4 7 0 0 2 1 5 1 3 0 9 2 1 5 8 4 − − − − − D = = 27, 3, 27 81 1 1 = = = D D x 4, 27 108 2 2 = − − = = D D x 1, 27 27 3 3 = − − = = D D x 1. 27 4 27 4 = = = D D x
三齐次方程组 +ax 1242 +…+a1nxn=0 +anx,+…+a,,xn=0 nn (3) aLnx,+axx+…+ax=0 注 1.齐次方程组(3)总有解; xn=0为方程组③的一个解称为零解;
10 三 齐次方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 (3) 0 n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = 注 1. 齐次方程组（3）总有解； 2. x1 = x2 == xn = 0为方程组（3）的一个解，称为零解；