s15因式分解定理 、不可约多项式 二、因式分解及唯一性定理
一、不可约多项式 二、因式分解及唯一性定理
问题的引入 因式分解与多项式系数所在数域有关 如:x2-4=(x2-2) x2+2 (在有理数域上) X十 x2+2 (在实数域上) =(x-√2)(x+√2)(x-2)(x+√2)(在复数域上)
因式分解与多项式系数所在数域有关 如： ( )( ) 4 2 2 x x x − = − + 4 2 2 ( )( )( ) 2 = − + + x x x 2 2 2 （在有理数域上） = − + − + ( x x x i x i 2 2 2 2 )( )( )( ) 问题的引入 （在实数域上） （在复数域上）
、不可约多项式 Def设p(x)∈P1x1,且O(p(x)≥1,若p(x) 不能表示成数域P上两个次数比p(x)低的多项式的 乘积,则称p(x)为数域P上的不可约多项式 Remark ①一个多项式是否不可约依赖于系数域. ②一次多项式总是不可约多项式
设 p x P x ( ) [ ] ，且 ( p x( )) 1 ，若 p x( ) 不能表示成数域 P上两个次数比 p x( ) 低的多项式的 Def. 乘积，则称 p x( ) 为数域P上的不可约多项式. Remark ① 一个多项式是否不可约依赖于系数域. ② 一次多项式总是不可约多项式. 一、不可约多项式
③多项式p(x)(op(x)21)不可约 分p(x)的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍. ④多项式P(x)不可约,对V(x)∈Px有 P(x)f(x)(p(x),f(x))=1 证:设(p(x),f(x)=d(x),则d(x)p(x) →d(x)=a≠0或d(x)=cp(x),C≠0 即d(x)=1,或d(x)=cp(x) (p(x),f(x)=1m(x)f(x)
③ 多项式 p x p x ( ) ( ( )) 1 ( ) 不可约 p x( ) 的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍. p x f x p x f x ( ) ( ) ( ), ( ) 1. 或 ( ) = ④ 多项式 p x( ) 不可约，对 f x P x ( ) [ ] 有 证：设 ( ( ), ( )) ( ), p x f x d x = 则 d x p x ( ) ( ) 或 d x cp x c ( ) ( ), 0 = d x cp x ( ) ( ) = ( ( ), ( )) 1 p x f x = p x f x ( ) ( ) = d x a ( ) 0 即 d x( ) 1, = 或
Th.5p(x)不可约.V(x),(x)∈Pxl,若 p(x)f(x)g(x),则p(x)f(x)或p(x)g(x) 证:若p(x)|∫(x),结论成立 若p(x)不整除∫(x),则(p(x),f(x)=1 Th4 →p(x)(x) cor.p(x)不可约,D(x)f(x)f(x)…f、(x) 则必有某个(x),使得P(x)f(x)
p x( ) 不可约. f x g x P x ( ), ( ) [ ] ，若 p x f x g x ( ) ( ) ( ), 则 p x f x ( ) ( ) 或 p x g x ( ) ( ). 证：若 结论成立 . p x f x ( ) ( ), Th4 若 p x f x ( ) ( ) 不整除 ，则 ( ( ), ( )) 1 p x f x = Th. 5 p x g x ( ) ( ). p x( ) 不可约， 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ), s p x f x f x f x 则必有某个 f x i ( ), 使得 ( ) ( ). i p x f x Cor
二、因式分解及唯一性定理 1.Th.Vp(x)∈P(x),若(f(x))≥1,则f(x)可 唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积 所谓唯一性是说,若有两个分解式 f(x)=P1(x)P2(x)…p,(x)=q1(x)2(x)…q(x) 则s=t,且适当排列因式的次序后,有 P (x=c, (x) 其中c;(i=1,2,…,S)是一些非零常数
p x P x ( ) ( ), 若 ( ( )) 1 f x ，则 f x( ) 可 唯一地分解成数域 P上一些不可约多项式的乘积. 所谓唯一性是说，若有两个分解式 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s t f x p x p x p x q x q x q x = = 1. Th. 则 s t = ，且适当排列因式的次序后，有 ( ) ( ) i i i p x c q x = 其中 c i s i ( 1,2, , ) = 是一些非零常数． 二、因式分解及唯一性定理
证:对∫(x)的次数作数学归纳 (f(x))=1时,结论成立.(一次多项式都不可约) 2°设对次数低于n的多项式结论成立 下证∂(f(x)=n的情形 若f(x)是不可约多项式.结论显然成立 若∫(x)不是不可约多项式,则存在f1(x),/2(x) 且o((x)<n,i=1,2使f(x)=f(x)2(x) 由归纳假设f(x),f2(x)皆可分解成不可约多项式的积
证：对 f x( ) 的次数作数学归纳. 1 ( ( )) 1 = f x 时，结论成立． 下证 = ( f x n ( )) 的情形. 2 设对次数低于n的多项式结论成立． （一次多项式都不可约） 若 f x( ) 是不可约多项式. 若 f x( ) 不是不可约多项式，则存在 1 2 f x f x ( ), ( ), 且 = ( ( )) , 1,2 f x n i i 使 1 2 f x f x f x ( ) ( ) ( ) = 结论显然成立． 由归纳假设 皆可分解成不可约多项式的积. 1 2 f x f x ( ), ( )
∫(x)可分解为一些不可约多项式的积 再证唯一性.设f(x)有两个分解式 f(x)=P1(x)P2(x)…P,(x) =q1(x)q2(x)…q1(x) P(x),q/(x)(i=1,2,…,s;j=1,2,…)都是不可约 多项式 对S作归纳法 若s=1,则必有S=t=1,f(x)=P1(x)=q1(x)
再证唯一性 . 1 2 ( ) ( ) ( ) t = q x q x q x ⑴ f x( ) 可分解为一些不可约多项式的积. ( ), ( ) 1,2, , ; 1,2, , . ( ) i j p x q x i s j t = = 都是不可约 设 f x( ) 有两个分解式 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) s f x p x p x p x = 多项式. 对 s 作归纳法． 若 s = 1, 则必有 s t = = 1, 1 1 f x p x q x ( ) ( ) ( ) = =
假设不可约多项式个数为s-1时唯一性已证 由(1)n1(x)q1(x)g2(x)…q、(x) →3(x),使得1(x)/(x 不妨设9(x)=q(x,则n(x)a(x) →q1(x)=c1D1(x),c1≠0 (1)两边消去(x),即得 P2(x)…s(x)=C1q2(x)…q;(x) 由归纳假设有s-1=t-1
假设不可约多项式个数为 s − 1 时唯一性已证. 由(１) 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) t p x q x q x q x 不妨设 q x q x j ( ) ( ), = 1 则 1 1 p x q x ( ) ( ) 1 1 1 1 = q x c p x c ( ) ( ), 0 1 ( ) ( ). j q x j ( ), 使得 p x q x (1)两边消去 1 q x( ), 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) s t p x p x c q x q x − = 由归纳假设有 s t − = − 1 1, 即得 =s t
2标准分解式:对V(x)∈Px(f(x)≥1, f(x)总可表成 (x)2(x)…p,(x) 其中C为f(x)的首项系数,P1(x)为互不相同的, 首项系数为1的不可约多项式,∈z+,称之为f(x) 的标准分解式
f x( ) 总可表成 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) s r r r s f x cp x p x p x = 对 f x P x f x ( ) [ ], ( ) 1, ( ) 其中 c 为 f x( ) 的首项系数， p x i ( ) 为互不相同的， 首项系数为1的不可约多项式， . i r Z+ 的标准分解式. 称之为 f x( ) 2. 标准分解式：