第九章欧氏空间 3分部品部歌部部锦部导部您品导部物品导影健影部息 81定义与基本性质§2标准正交基 §3同构 84正交变换 85子空间 86对称矩阵的标准形 §7向量到子空间的§8酉空间介绍 距离一最小二乘法 小结与习题
1 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §1 定义与基本性质 小结与习题 §5 子空间 §6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的 距离─最小二乘法 §8 酉空间介绍
§1定义与基本性质 欢氏空间的定义 二、欧氏空间中向量的长度 三、欧氏空间中向量的夹角 四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示 五、欧氏子空间
2 一、欧氏空间的定义 二、欧氏空间中向量的长度 三、欧氏空间中向量的夹角 四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示 五、欧氏子空间
问题的引入: 1、线性空间中,向量之间的基本运算为线性运算, 其具体模型为几何空间R2、R3,但几何空间的度量 性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及 2、在解析几何中,向量的长度,夹角等度量性质 都可以通过内积反映出来: 长度 夹角:cos β 3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质
3 问题的引入： 性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及. 其具体模型为几何空间 R R 2 3 、 , 1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算， 但几何空间的度量 长度： = 都可以通过内积反映出来： , cos , 夹角 = ： 2、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质 3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质
、欧氏空间的定义 1.定义 设V是实数域R上的线性空间,对V中任意两个向量 a、B,定义一个二元实函数,记作(a,B),若(a,/) 满足性质:Va,B,y∈V,k∈R 1(a,B)=(,a) (对称性) 2°(ka,B)=k(a,B) (数乘) 3”(a+B,y)=(a,y)+(,y) (可加性) 4(a,a)≥0,当且仅当a=0时(a,a)=0.(正定性
4 满足性质： , , , V k R 1 ( , ) ( , ) = 2 ( , ) ( , ) k k = 3 ( , ) , ( , ) + = + ( ) 4 ( , ) 0, 当且仅当 = 0 时 ( , ) 0. = 一、欧氏空间的定义 1. 定义 设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量 、 , 定义一个二元实函数，记作 ( , ) ，若 ( , ) （对称性） （数乘） （可加性） （正定性）
则称(a,B和的内积,并称这种定义了内积的 实数域R上的线性空间V为欧氏空间 注:欧氏空间ⅴ是特殊的线性空间 ①ⅴ为实数域R上的线性空间; ②ⅴ除向量的线性运算外,还有“内积”运算; 8(a,B)∈R
5 ① V为实数域 R上的线性空间; ② V除向量的线性运算外，还有“内积”运算; ③ ( , ) . R 欧氏空间 V是特殊的线性空间 则称 ( , ) 为 和 的内积，并称这种定义了内积的 实数域 R上的线性空间V为欧氏空间. 注：
例1.在R"中,对于向量 a=(a,a2,…,an),B=(④,b2b) 1)定义(a,B)=a1b1+a2b2+…+an (1) 易证(a,月)满足定义中的性质1~4 所以(a,B)为内积 这样R对于内积(a,B)就成为一个欧氏空间 (当n=3时,1)即为几何空间R中内积在直角 坐标系下的表达式.(a,B)即a,月.)
6 例1．在 R n 中，对于向量 = = (a a a b b b 1 2 1 2 , , , , , , , n n ) ( ) 所以 ( , ) 为内积. 当 n = 3 时，1）即为几何空间 中内积在直角 3 ( R 坐标系下的表达式 . ( , ) . 即 ) 这样 对于内积 就成为一个欧氏空间. n R ( , ) 易证 ( , ) 满足定义中的性质 1 4 ～ . 1）定义 1 1 2 2 ( , ) n n = + + + a b a b a b （1）
2)定义 (a,B)=a1b1+2a2b2+…+kabk+…+nanb 易证(a,B满足定义中的性质1~4 所以(a,y也为内积 从而R对于内积(a,B)也构成一个欧氏空间 注意:由于对va·B∈V,未必有(a,B)=(a,B) 所以1),2)是两种不同的内积 从而R对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间
7 2）定义 1 1 2 2 ( , ) 2 k k n n = + + + + + a b a b ka b na b 所以 ( , ) 也为内积. 从而 对于内积 也构成一个欧氏空间. n R ( , ) 由于对 V, 未必有 ( , ) ( , ) 注意： = 所以1），2）是两种不同的内积. 从而 对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间. n R 易证 ( , ) 满足定义中的性质 1 4 ～
例2.C(a,b)为闭区间,b上的所有实连续函数 所成线性空间,对于函数∫(x),g(x),定义 ( 8)=f(x)8(x)dx (2) 则C(a,b)对于(2)作成一个欧氏空间 证:Vf(x),g(x),h(x)∈C(a,b),Vk∈R 1.(, 8)=f(x)g(x)dx=g(x)f(x)dx=(g,) 2.(kf, 8)=kf(x)(x)dx=k f(xg(x)dx k(f, 8)
8 例2．C a b ( , ) 为闭区间 [ , ] a b 上的所有实连续函数 所成线性空间，对于函数 f x g x ( ), ( ) ，定义 ( , ) ( ) ( ) b a f g f x g x dx = （2） 则 C a b ( , ) 对于（2）作成一个欧氏空间. 证： f x g x h x C a b k R ( ), ( ), ( ) ( , ), 1 . ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) b b a a f g f x g x dx g x f x dx g f === 2 . ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a k f g k f x g x dx k f x g x dx = = = k f g ( , )
3:(f+g,)(f(x)+(x)M(x)ac b f(xhh(x)dx+g(x)h(x)dx (∫,h)+(g,h) b 4.(f,f)=f2( r)ar ∫(x)≥0, (∫,∫)≥0. 且若∫(x)≠0,则∫2(x)>0,从而(f,∫)>0 故(,f)=0分∫(x) 因此,(f,g)为内积,C(a,b)为欧氏空间
9 3 . ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a f g h f x g x h x dx + = + ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a = + f x h x dx g x h x dx = + ( , ) ( , ) f h g h 2 4 . ( , ) ( ) b a f f f x dx = 2 f x( ) 0, ( , ) 0. f f 且若 f x( ) 0, 则 2 f x( ) 0, 从而 ( , ) 0. f f 故 ( , ) 0 ( ) 0. f f f x = = 因此， ( , ) f g 为内积， C a b ( , ) 为欧氏空间
2.内积的简单性质 V为欧氏空间,Va,B,y∈V,Vk∈R 1)(a, kB)=k(a,B),(ka, kB)=k(a, B) 2)(a,B+y)=(a,B)+(a,y) 推广:(a,∑G)=z(a,月) 3)(0,B)=0
10 ( ) 2 1) ( , ) ( , ), , ( , ) k k k k k = = 2) ( , ) ( , ) ( , ) + = + 推广： 1 1 ( , ) ( , ) s s i i i i = = = 3) (0, ) 0 = 2. 内积的简单性质 V为欧氏空间， , , , V k R