§17多项式函数 、多项式函数与根 二、多项式函数的有关性质
一、多项式函数与根 二、多项式函数的有关性质
、多项式函数与根 1.多项式函数 设f(x)=a0x"+a1x"+…+an,数a∈P, 将∫(x)的表示式里的x用a代替,得到P中的数 0+a1c+……+n 称为当X=a时∫(x)的值,记作∫() 这样,对P中的每一个数a,由多项式f(x)确定P 中唯一的一个数f(a)与之对应,于是称f(x)为P上 的一个多项式函数
一、多项式函数与根 1. 多项式函数 1 0 1 ( ) , n n n f x a x a x a − 设 = + + + 数 p, 将 f x( ) 的表示式里的 x 用 代替，得到P中的数 1 0 1 , n n n a a a − + + + 称为当 x = 时 f x( ) 的值，记作 f ( ). 这样，对P中的每一个数 ，由多项式 确定P 中唯一的一个数 与之对应，于是称 为P上 的一个多项式函数． f x( ) f ( ) f x( )
易知,若 h(x)=f(x)+g(x),h2(x)=f(x)g(x), 则 h(a)=f(a)+gla), h,(a)=f(a)g(a). 2.多项式函数的根(或零点) 若多项式函数f(x)在X=C处的值为0,即 f(a)=0, 则称a为∫(x)的一个根或零点
若多项式函数 f x( ) 在 x = 处的值为0，即 f ( ) 0, = 则称 为 f x( ) 的一个根或零点． 2. 多项式函数的根(或零点) 易知，若 1 2 h x f x g x h x f x g x ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), = + = 1 2 h f g h f g ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ). = + = 则
、多项式函数的有关性质 1.定理7 (余数定理):用一次多项式x-a去除多项式 f(x),所得余式是一个常数,这个常数等于函数 值∫(a) 推论:a是∫(x)的根◇(x-0)∫(x)
（余数定理）：用一次多项式 x − 去除多项式 f x( ), 所得余式是一个常数，这个常数等于函数 值 f ( ). 二、多项式函数的有关性质 1. 定理7 推论: 是 f x( ) 的根 − ( ) | ( ). x f x
例1求∫(x)=x+x2+4x-9在x=-3处的函数值 法一:把x=-3代入∫(x),求∫(-3) 法二:用x+3去除∫(x),所得余数就是∫(-3) 答案:f(-3)=69
例1 求 在 处的函数值. 4 2 f x x x x ( ) 4 9 = + + − x = −3 法一： 把 x = −3 代入 f x( ), 求 f ( 3). − 法二： 用 x + 3 去除 f x( ), 所得余数就是 f ( 3). − 答案： f ( 3) 69 . − =
2.多项式函数的k重根 定义若x-a是f(x)的k重因式,则称a为 ∫(x)的k重根 当k=1时,称a为∫(x)的单根. 当k>1时,称a为f(x)的重根
若 x − 是 f x( ) 的 k 重因式， 则称 为 f x( ) 的 k 重根. 当 k = 1 时，称 为 f x( ) 的单根． 当 k 1 时，称 为 f x( ) 的重根． 2. 多项式函数的k重根 定义
注: ①a是∫(x)的重根令x-a是f(x)的重因式 ②∫(x)有重根→∫(x)必有重因式 反之不然,即f(x)有重因式未必f(x)有重根 例如,∫(x)=(x2+1)∈R[x, x2+1为∫(x)的重因式,但在R上∫(x)没有根
注： ① 是 f x( ) 的重根 − x 是 f x( ) 的重因式． ② f x( ) 有重根 f x( ) 必有重因式． 反之不然，即 f x( ) 有重因式未必 f x( ) 有重根． 2 2 例如， f x x R x ( ) ( 1) [ ], = + 为 f x( ) 的重因式，但在R上 f x( ) 没有根． 2 x + 1
3.定理8(根的个数定理) 任一Px中的n次多项式(n≥0),在P中的根 不可能多于n个,重根按重数计算 4.定理9 ∫(x,g(x)∈Pxl,且∂(∫(x),a(g(x)≤m, 若有a1,ax2, n+1 使 f∫(a;)=g(a1),=1,2,…,n+1 则f(x)=g(x)
3. 定理8 (根的个数定理) 任一 P x[ ] 中的 n 次多项式 ( 0), n 在 P 中的根 不可能多于 n 个，重根按重数计算． 4. 定理9 f x g x P x ( ), ( ) [ ], 且 ( f x g x n ( ) , ( ) , ) ( ) 若有 1 2 1 , , , n+ P 使 ( ) ( ), 1,2, , 1 i i f g i n = = + 则 f x g x ( ) ( ). =
证:设f(x)∈P|x(f(x)≥0 定理8 若a(f(x)=0,即f(x)=c≠0, 此时对Va∈P,有f(a)=c≠0.即∫(x)0个根 O(f(x)>n时,由因式分解及唯一性定理, ∫(x)可分解成不可约多项式的乘积, 由推论,∫(x)的根的个数等于f(x)分解式中 次因式的个数,重根按重数计算,且此数≤n
证：设 f x P x f x ( ) [ ], ( ) 0 ( ) 若 = ( f x( ) 0, ) 即 f x c ( ) 0, = ( f x n ( )) 时，由因式分解及唯一性定理， f x( ) 可分解成不可约多项式的乘积， 由推论， f x( ) 的根的个数等于 f x( ) 分解式中 一次因式的个数，重根按重数计算，且此数 n. 此时对 P, 有 f c ( ) 0. = 即 f x( ) 有0个根. 定理8
证:令h(x)=∫(x)-g(x),则有 定理9 h(ar)=0,i=1,2,…,n+1, 即(x)有a1,a2,…an+1,n+1个根, 由定理8,若(x)≠0的话,则((x)>n 矛盾 所以,h(x)=0,即f(x)=g(x)
证：令 h x f x g x ( ) ( ) ( ), = − 则有 ( ) 0, 1,2, , 1, h i n i = = + 由定理８，若 h x( ) 0 的话，则 (h x n ( ) . ) 矛盾． 所以， h x( ) 0, = 即 h x( ) 有 1 2 1 , , , 1 n+ n + 个根， 即 f x g x ( ) ( ). = 定理9