§1.2一元多项式 元多项式的概念 二、多项式环
一、一元多项式的概念 二、多项式环 §1.2 一元多项式
元多项式的概念 1.定义设x是一个符号(或称文字),n是 个非负整数,形式表达式 .x+a.1 Farao 其中a1,a1,an∈P,称为数域P上的一元多项式 常用f(x),g(x),h(x)等表示
1．定义 个非负整数，形式表达式 设 x 是一个符号（或称文字）， n 是一 1 1 1 0 n n n n a x a x a x a − + + + + − 其中 a a a P 0 1 , , , n 称为数域P上的一元多项式． 常用 f x g x h x ( ), ( ), ( ) 等表示． 一、一元多项式的概念
注:多项式f(x)=0x2+an2+…+a1x+a0中 ①ax称为次项,a称为次项系数 ②若an≠0,则称anx为f(x)的首项,an为首项 系数,n称为多项式f(x)的次数,记作(f(x)=n 若 =an=0,即f(x)=0,则称之 为零多项式零多顶式不定义次数 零多项式f(x)=0 区别: 零次多项式(x)=a,a≠0,0(f(x)=0
系数，n 称为多项式 f x( ) 的次数，记作 ( ( )) . f x n= ③ 若 a a a 0 1 = = = = n 0 ，即 f x( ) 0 = ，则称之 为零多项式．零多项式不定义次数． 区别： 零次多项式 f x a a ( ) , 0 , = 多项式 中， 1 1 1 0 ( ) n n n n f x a x a x a x a − = + + + + − 称为i次项， 称为i次项系数． i i ① a x i a 注： ② 若 则称 为 f x( ) 的首项， 为首项 n n 0, a x n a n a 零多项式 f x( ) 0 = ( ( )) 0. f x =
2.多项式的相等 若多项式f(x)与8(x)的同次项系数全相等,则 称f(x)与g(x相等,记作f(x)=g(x) 即,f(x)=ax2+ax21+…+a1x+an g(x)=bx+b +b,x+b f()=g(x) b,i=0,1,2,…
2．多项式的相等 若多项式 f x( ) 与 g x( ) 的同次项系数全相等，则 称 f x( ) 与 g x( ) 相等，记作 f x g x ( ) ( ). = 即， 1 1 1 0 ( ) , m m m n g x b x b x b x b − = + + + + − ( ) ( ) , , 0,1,2, , . i i f x g x m n a b i n = = = = 1 1 1 0 ( ) , n n n n f x a x a x a x a − = + + + + −
3.多项式的运算:加法(减法)、乘法 fO=a,x+a-x Fanc+ao =0 g(o)=bx+b 1+…+b1x+D0= ∑bx 加法:若n2m,在g(x)中令 则f(x)+g(x)=∑(a+b) 减法:x)-g(x)=2(a-b)x
3．多项式的运算：加法（减法）、乘法 1 1 1 0 0 ( ) ,i i n n n n n i f x a x a x a x a a x − − = = + + + + = 1 1 1 0 0 ( ) ,j j m m m m m j g x b x b x b x b b x − − = = + + + + = 加法： 若 n m , 在 g x( ) 中令 1 1 0 n n m b b b = = = = − + 则 0 ( ) ( ) ( ) . i i n i i f x g x a b x = + = + 0 ( ) ( ) ( ) i i n i i f x g x a b x = 减法： − = −
乘法 f(x)g(x)=abnx+(abm1+an1bn)x+ +(a,bo+a,b)x+aobo 2+ ∑∑(nb 注:f()g(x)中s次项的系数为 b+a1+…+a1b1+ab=∑a
1 0 1 0 0 ( ) o + + + a b a b x a b 1 ( ) n m i i j s i j s a b x + = + = = f x g x ( ) ( ) 中s 次项的系数为 1 1 1 1 0 . s o s s s i j i j s a b a b a b a b a b − − + = + + + + = 注: 乘法： f x g x ( ) ( ) = 1 1 1 ( ) n m n m n m n m n m a b x a b a b x + + − + + + − −
多项式运算性质 1)(x)g(x)为数域P上任意两个多项式,则 (x)±g(x),f(x)g(x)仍为数域P上的多项式 2)(x),g(x)∈Px ①(x)±g(x)≠0.00±g)smax0),0(g) ②若)≠0,g(x)≠0,则(x)g(x)≠0,且 0((x)g(x)=0((0x)+O(g(x)
4．多项式运算性质 1) f x g x ( ) ( ) 为数域 P上任意两个多项式，则 f x g x f x g x ( ) ( ), ( ) ( ) 仍为数域 P上的多项式． 2) f x g x P x ( ), ( ) [ ] ① f x g x f g f g ( ) ( ) 0, ( ) max( ( ), ( )) ② 若 f x g x ( ) 0, ( ) 0, 则 f x g x ( ) ( ) 0, 且 = + ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) f x g x f x g x
f(x)g(x)的首项系数 f(x)的首项系数×8()的首项系数 3)运算律 f(o)+g(x)=g(x)+f(x) (f(x)+g(x)+H(x)=f(x)+(8(x)+h(x) f(g(x=g(x)f(x C(g(oh(x)=f(o(g(h(o) f(x)(g(x)+H(x)=f(x)g(x)+f(x)h(x) f(x)g(x)=f(x)h(x),f(x)≠0→g(x)=h(x
f x g x ( ) ( ) 的首项系数 = f x( ) 的首项系数× g x( ) 的首项系数. 3) 运算律 f x g x g x f x ( ) ( ) ( ) ( ) + = + ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( )) f x g x h x f x g x h x + + = + + f x g x g x f x ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ( ) ( )) ( ) ( )( ( ) ( )) f x g x h x f x g x h x = f x g x h x f x g x f x h x ( )( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) + = + f x g x f x h x f x g x h x ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) 0 ( ) ( ) = =
例1设∫(x),g(x),h(x)∈R(x) (1)证明:若f(x)=x(x)+xh(x),则 f(x)=g(x)=h(x)=0 (2)在复数域上(1)是否成立?
例1 设 f x g x h x R x ( ), ( ), ( ) ( ) (1) 证明: 若 2 2 2 f x xg x xh x ( ) ( ) ( ), = + 则 f x g x h x ( ) ( ) ( ) 0 = = = (2) 在复数域上(1)是否成立？
(1)证:若f(x)≠0,则 x(g2(x)+h2(x)=f(x)≠0 从而g2(x)+h2(x)≠0.于是 (xg2(x)+xh2(x)=(x(g2(x)+h2(x)为奇数 但a(f2(x))为偶数∴x(g2(x)+h2(x)≠f2(x) 这与已知矛盾.故∫(x)=0, 从而82(x)+h(x)=0
(1) 证：若 f x( ) 0, 则 2 2 2 x g x h x f x ( ( ) ( )) ( ) 0, + = 于是 2 2 2 2 + = + ( ( ) ( )) ( ( ( ) ( ))) xg x xh x x g x h x 为奇数. 故 f x( ) 0, = 从而 2 2 g x h x ( ) ( ) 0. + = 从而 2 2 g x h x ( ) ( ) 0. + 2 但 ( ( )) f x 为偶数. 这与已知矛盾. 2 2 2 + x g x h x f x ( ( ) ( )) ( )