北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第四章 矩阵（4.1-4.3）4.1 矩阵概念的引入 4.2 矩阵的定义 4.3 矩阵乘积的行列式与秩

第四章矩阵 矩阵概念的引入 ,y,+a x,+∴+l,x=b 12~2 1.线性方程组 x,+any,+∴+a,x=b 21~1 ax tax 2~2 +∴+x=b n 的解取次于系数anG;ji=1,2,,m 常数项b(=1,…,n)

       + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 1. 线性方程组 的解取决于 a (i, j 1,2, ,n), 系数 ij =  b (i , , ,n) 常数项 i = 1 2  一、矩阵概念的引入 第四章 矩阵

线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 12 In a,b,对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究 n2 nn B 2.某航空公司在A,B,C,D四 城市之间开辟了若干航线, 如图所示表示了四城市间的A C 航班图,如果从A到B有航班, 则用带箭头的线连接A与B

              n n nn n n n a a a b a a a b a a a b         1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究. 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 2. 某航空公司在A,B,C,D四 城市之间开辟了若干航线 , 如图所示表示了四城市间的 航班图,如果从A到B有航班, 则用带箭头的线连接 A 与B. A B C D

四城市间的航班图情况常用表格来表示: 到站 B D 发站 B C D 其中、表示有航班 为了便于计算把表中的改成1空白地方填上 0,就得到一个数表:

四城市间的航班图情况常用表格来表示: 发站 到站 A B C D A B C D 其中 表示有航班. 为了便于计算,把表中的 改成1,空白地方填上 0,就得到一个数表:

B D ABC D0110 0 1001 1100 0 0 这个数表反映了四城市间交通联接情况

1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 这个数表反映了四城市间交通联接情况. A B C D A B C D

矩阵的定义 由m×n个数an(i=1,2,…,m;j=12,…,n 排成的m行m列的数表 2 In 21 22 2n mn 称为mXn矩阵.简称mXn矩阵.记作

二、矩阵的定义 由 个数 排成的 行 列的数表 m n m n a (i m j n) ij = 1,2,  , ; = 1,2,  , m m mn n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 称为 mn 矩阵.简称 m  n 矩阵. 记作

主对角线 In 2n 矩阵A的 (m,n元 副对角线 mn 简记为A=Amx=a=(an 这m×n个数称为4的元素简称为元 元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵

              = m m mn n n a a a a a a a a a A        1 1 21 22 2 11 12 1 简记为 ( ) ( ). ij m n A = Am n = aij = a   ( )元 矩阵 的 m n A , 这mn个数称为A的元素,简称为元. 元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵. 主对角线 副对角线

例如 1035 9643 是一个2×4实矩阵, 1362i 222 是一个3×3复矩阵, 2 222 是一个3×1矩阵, 235 是一个1×4矩阵,是一个1×1矩阵

例如       − 9 6 4 3 1 0 3 5 是一个 24 实矩阵,           2 2 2 2 2 2 13 6 2i 是一个 33 复矩阵,           4 2 1 是一个 31 矩阵, (2 3 5 9) 是一个 14 矩阵, (4) 是一个 11 矩阵

三矩阵的运算 矩阵的加法 设有两个mxn矩阵A=(an)B=那末矩阵 A与B的和记作A+B,规定为 b,a+b a+b 12 n +b 十 a. +b 4+B 21 21 22 22 2n 2n a,+b a+b 2 a +b mmn

              + + + + + + + + + + = m m m m m n m n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b A B        1 1 2 2 21 21 22 22 2 2 11 11 12 12 1 1 矩阵的加法 设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 ，规定为 mn A (a ), B (b ), = ij = ij A B A+ B 三 矩阵的运算

说明只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进 行加法运算 123-5(189 例如1-90+654 368 32 12+13+8-5+9)(13114 1+6-9+50+4 3+36+28+1 689

说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算. 例如           +           − − 3 2 1 6 5 4 1 8 9 3 6 8 1 9 0 12 3 5           + + + + − + + + + − + = 3 3 6 2 8 1 1 6 9 5 0 4 12 1 3 8 5 9 . 6 8 9 7 4 4 13 11 4           = −

矩阵加法的运算规律 (1)A+B=B+A (2)(A+B)+C=A+(B+C) 12 ()-A=|an-a2 2n mI n 称为矩阵A的负矩阵 (4)A+(-A)=0,A-B=A+(-B)

矩阵加法的运算规律 (1) A+ B = B + A; (2)(A+ B)+ C = A+ (B + C). ( )               − − − − − − − − − − = m m m n n n a a a a a a a a a A        1 1 21 22 2 11 12 1 3 (4) A+ (− A) = 0, A− B = A+ (− B). ( ), = − aij 称为矩阵A的负矩阵