§8若当标准形介绍 、若当( Jordan)形矩阵 二、若当( Jordan)标准形
一、 若当(Jordan)形矩阵 二、 若当(Jordan)标准形
引入 由§7.5知,n维线性空间ⅴ的线性变换在某组基下 的矩阵为对角形冷a有n个线性无关的特征向量 冷σ的所有不同特征子空间的维数之和等于n 可见,并不是任一线性变换都有一组基,使它在这 组基下的矩阵为对角形. 本节介绍,在适当选择基下,一般的线性变换的 矩阵能化简成什么形状 §8若当标准形介绍
§8 若当标准形介绍 由§7.5知，n维线性空间V的线性变换在某组基下 的矩阵为对角形 有n个线性无关的特征向量 . 的所有不同特征子空间的维数之和等于n . 可见，并不是任一线性变换都有一组基，使它在这 组基下的矩阵为对角形. 本节介绍，在适当选择基下，一般的线性变换的 矩阵能化简成什么形状. 引入
、若当√ Jordan)形矩阵 定义:形式为 0…000 1∴000 J(,t)= 00∴1元0 012 的矩阵称为若当( Jordan)块,其中λ为复数; 由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵 §8若当标准形介绍
§8 若当标准形介绍 0 0 0 0 1 0 0 0 ( , ) 0 0 1 0 0 0 0 1 t t J t = 的矩阵称为若当(Jordan)块，其中 为复数； 一、若当(Jordan)形矩阵 定义：形式为 由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵
200 0000 如:120 1000 012 0100 0)都是若当块 0010 而下面的准对角形则是一个若当形矩阵. 100000 110000 004000 J(4,1) 000-i00 0001-i0 00001 注:一级若当块就是一级矩阵,从而对角矩阵都是 若当形矩阵 §8若当标准形介绍
§8 若当标准形介绍 如： ( ) 0000 2 0 0 1 0 0 0 0 1 2 0 , , 0 1 0 0 1 0 1 2 0 0 1 0 i i 都是若当块； 1 0 0 0 0 0 (1,2) 1 1 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 (4,1) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ( ,3) 0 0 0 0 1 J J i i J i i = − − − − 而下面的准对角形则是一个若当形矩阵. 注：一级若当块就是一级矩阵，从而对角矩阵都是 若当形矩阵
、若当( Jordan)标准形 1、设σ是复数域C上n维线性空间的一个线性变换, 在V中必存在一组基,使σ在这组基下的矩阵是若当 形矩阵,并是除若当块的排列次序外,该若当形由 G唯一决定,称之为σ的若当标准形. 2、任一n级复矩阵A总与某一若当形矩阵相似, 并且除若当块的排列次序外,该若当形矩阵由矩阵 A唯一决定,称之为矩阵A的若当标准形 §8若当标准形介绍
§8 若当标准形介绍 1、设 是复数域C上n维线性空间的一个线性变换， 在V中必存在一组基，使 在这组基下的矩阵是若当 形矩阵，并是除若当块的排列次序外，该若当形由 唯一决定，称之为 的若当标准形. 二、若当(Jordan)标准形 2、任一n级复矩阵A总与某一若当形矩阵相似， 并且除若当块的排列次序外，该若当形矩阵由矩阵 A唯一决定，称之为矩阵A的若当标准形
3、在一个线性变换σ的若当标准形中,主对角线 上的元素是σ的特征多项式的全部根(重根按多数 计算) (1、2、3的证明将在第八章给出) §8若当标准形介绍
§8 若当标准形介绍 3、在一个线性变换 的若当标准形中，主对角线 上的元素是 的特征多项式的全部根（重根按多数 （1、2、3的证明将在第八章给出） 计算）
附:有时也规定形式为 000 04.000 J(, t) 00∴02 00..002 的矩阵为若当( Jordan)块 §8若当标准形介绍
§8 若当标准形介绍 1 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) 0 0 0 1 0 0 0 0 t t J t = 的矩阵为若当(Jordan)块. 附：有时也规定形式为
