北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第七章 线性变换（7.8）若当标准形介绍

§8若当标准形介绍 、若当( Jordan)形矩阵 二、若当( Jordan)标准形

一、 若当(Jordan)形矩阵 二、 若当(Jordan)标准形

引入 由§7.5知,n维线性空间ⅴ的线性变换在某组基下 的矩阵为对角形冷a有n个线性无关的特征向量 冷σ的所有不同特征子空间的维数之和等于n 可见,并不是任一线性变换都有一组基,使它在这 组基下的矩阵为对角形. 本节介绍,在适当选择基下,一般的线性变换的 矩阵能化简成什么形状 §8若当标准形介绍

§8 若当标准形介绍 由§7.5知，n维线性空间V的线性变换在某组基下 的矩阵为对角形   有n个线性无关的特征向量 .   的所有不同特征子空间的维数之和等于n . 可见，并不是任一线性变换都有一组基，使它在这 组基下的矩阵为对角形. 本节介绍，在适当选择基下，一般的线性变换的 矩阵能化简成什么形状. 引入

、若当√ Jordan)形矩阵 定义:形式为 0…000 1∴000 J(,t)= 00∴1元0 012 的矩阵称为若当( Jordan)块,其中λ为复数; 由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵 §8若当标准形介绍

§8 若当标准形介绍 0 0 0 0 1 0 0 0 ( , ) 0 0 1 0 0 0 0 1 t t J t           =         的矩阵称为若当(Jordan)块，其中  为复数； 一、若当(Jordan)形矩阵 定义：形式为 由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵

200 0000 如:120 1000 012 0100 0)都是若当块 0010 而下面的准对角形则是一个若当形矩阵. 100000 110000 004000 J(4,1) 000-i00 0001-i0 00001 注:一级若当块就是一级矩阵,从而对角矩阵都是 若当形矩阵 §8若当标准形介绍

§8 若当标准形介绍 如： ( ) 0000 2 0 0 1 0 0 0 0 1 2 0 , , 0 1 0 0 1 0 1 2 0 0 1 0 i i                   都是若当块； 1 0 0 0 0 0 (1,2) 1 1 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 (4,1) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ( ,3) 0 0 0 0 1 J J i i J i i             =     −     − −     − 而下面的准对角形则是一个若当形矩阵. 注：一级若当块就是一级矩阵，从而对角矩阵都是 若当形矩阵

、若当( Jordan)标准形 1、设σ是复数域C上n维线性空间的一个线性变换, 在V中必存在一组基,使σ在这组基下的矩阵是若当 形矩阵,并是除若当块的排列次序外,该若当形由 G唯一决定,称之为σ的若当标准形. 2、任一n级复矩阵A总与某一若当形矩阵相似, 并且除若当块的排列次序外,该若当形矩阵由矩阵 A唯一决定,称之为矩阵A的若当标准形 §8若当标准形介绍

§8 若当标准形介绍 1、设  是复数域C上n维线性空间的一个线性变换， 在V中必存在一组基，使  在这组基下的矩阵是若当 形矩阵，并是除若当块的排列次序外，该若当形由  唯一决定，称之为  的若当标准形. 二、若当(Jordan)标准形 2、任一n级复矩阵A总与某一若当形矩阵相似， 并且除若当块的排列次序外，该若当形矩阵由矩阵 A唯一决定，称之为矩阵A的若当标准形

3、在一个线性变换σ的若当标准形中,主对角线 上的元素是σ的特征多项式的全部根(重根按多数 计算) (1、2、3的证明将在第八章给出) §8若当标准形介绍

§8 若当标准形介绍 3、在一个线性变换  的若当标准形中，主对角线 上的元素是  的特征多项式的全部根（重根按多数 （1、2、3的证明将在第八章给出） 计算）

附:有时也规定形式为 000 04.000 J(, t) 00∴02 00..002 的矩阵为若当( Jordan)块 §8若当标准形介绍

§8 若当标准形介绍 1 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) 0 0 0 1 0 0 0 0 t t J t           =         的矩阵为若当(Jordan)块. 附：有时也规定形式为