第七章线性变换 81线性变换的定义§6线性变换的值域与核 82线性变换的运算87不变子空间 83线性变换的矩阵§8若当标准形简介 84特征值与特征向量小结与习题 85对角矩阵
1 §2 线性变换的运算 §3 线性变换的矩阵 §4 特征值与特征向量 §1 线性变换的定义 §5 对角矩阵 §7 不变子空间 §8 若当标准形简介 §6 线性变换的值域与核 小结与习题
§1线性变换的定义 线性变换的定义 线性变换的简单性质
2 一、 线性变换的定义 二、 线性变换的简单性质
引入 在讨论线性空间的同构时,我们考虑的是一种 保持向量的加法和数量乘法的一一对应.我们常称 两线性空间之间保持加法和数量乘法的映射为线性 映射.本节要讨论的是在线性空间V上的线性映射 线性变换
3 引入 在讨论线性空间的同构时，我们考虑的是一种 保持向量的加法和数量乘法的一一对应. 我们常称 线性变换. 映射. 本节要讨论的是在线性空间V上的线性映射 两线性空间之间保持加法和数量乘法的映射为线性
线性变换的定义 设V为数域P上的线性空间,若变换σ:>V 满足:Va,B∈V,k∈P a(a+B)=σ(a)+a( oka=kola 则称σ为线性空间ⅴ上的线性变换
4 一、 线性变换的定义 设V为数域P上的线性空间，若变换 :V V → 满足： , , V k P (k k ) = ( ) 则称 为线性空间V上的线性变换. ( + = + ) ( ) ( )
注:几个特殊线性变换 单位变换(恒等变换):E:V>V,aPa,Va∈ 零变换:0:V→,aH>0,Va∈ 由数k决定的数乘变换:K:V→V,a>ka,Va∈ 事实上,Va,B∈V,Vm∈P, K(a+B)=k(a+B)=ka+kB=k(a)+K(e) K(ma=kma= mka=mk(a
5 注：几个特殊线性变换 由数k决定的数乘变换： K V V k V : , , → 事实上， , , , V m P K k k k K K ( + = + = + = + ) ( ) , ( ) ( ) K m km mk mK ( ) = = = ( ). 单位变换(恒等变换)： E V V V : , , → 零变换： 0 : , 0, V V V →
例1.V=R2(实数域上二维向量空间),把每 向量绕坐标原点旋转6角,就是一个线性变换, 用T。表示,即 T:R2→R2,()+( J 这里 Cos y0 -sIn SIn cos 6 易验证:Va,B∈R2,Vk∈R (a+B)=T(a)+T(B) Te(ka)=kT(a)
6 例1. V R = 2 (实数域上二维向量空间)，把V中每 一向量绕坐标原点旋转 角，就是一个线性变换， 用 T 表示，即 ( ) ( ) 2 2 : , x x T R R y y → 这里， 易验证： T T T ( ) ( ) ( ) + = + T k kT ( ) ( ) = 2 , , R k R ( ) ( )( ) cos sin sin cos x x y y − =
例2.V=R,a∈V为一固定非零向量,把每 个向量变成它在a上的内射影是T的一个线 性变换.用Ⅱa表示,即 In:R3→R3,H (a,) V∈R c. al 这里(a,5)(a,a)表示内积 易验证:V5,∈R,Vk∈R I(5+n)=I2(5)+I2(n) aⅡ2(5) I2(k)=kI2()
7 例2． V R V = 3 , 为一固定非零向量，把V中每 一个向量 变成它在 上的内射影是V上的一个线 3 3 3 ( , ) : , , ( , ) R R R → 性变换. 用 表示，即 这里 表示内积. ( , ),( , ) 易验证： ( ) ( ) ( ) + = + (k k ) ( ) = 3 , , R k R ( )
例3.V=P|x或P|xn上的求微商是一个线性变换, 用D表示,即 D:V→V,D(f(x)=f(x),Vf(x)∈L 例4.闭区间[,b上的全体连续函数构成的线性空间 C(a,b)上的变换 J:C(a,)→C(a,b),√((x)=Jmf() 是一个线性变换
8 例3．V P x P x = [ ] [ ] 或 n 上的求微商是一个线性变换， 用D表示，即 D V V D f x f x f x V : , ( ( )) ( ), ( ) → = 例4. 闭区间 [ , ] a b 上的全体连续函数构成的线性空间 : , , , ( ) ( ) ( ( )) ( ) x a J C a b C a b J f x f t dt → = 是一个线性变换. C a b ( , ) 上的变换
二、线性变换的简单性质 1.c为V的线性变换,贝 a(0)=0,a(-a)=-a(a) 2.线性变换保持线性组合及关系式不变,即 若B=k1a1+k2a2+…+k,an 则a(B)=k(a)+k2(a2)+…+ko(a,) 3.线性变换把线性相关的向量组变成线性相关 的向量组.即
9 1． 为V的线性变换，则 (0 0, . ) = − = − ( ) ( ) 2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即 若 1 1 2 2 , r r = + + + k k k 则 ( ) 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ). r r = + + + k k k 3．线性变换把线性相关的向量组变成线性相关 二、 线性变换的简单性质 的向量组. 即
若a1a2,…a,线性相关,则a(a1),o(a2),…(a,) 也线性相关 事实上,若有不全为零的数k1,k2…,k使 k1a1+k2C2+…+k,a1=0 则由即有,k(1)+k2(a2)+…+k(a,)=0 注意:3的逆不成立,即σ(a1)(an2)…( 线性相关,Q1,2,“未必线性相关 事实上,线性变换可能把线性无关的向量组变成 线性相关的向量组.如零变换
10 若 1 2 , , , r 线性相关，则 ( 1 2 ), , , ( ) ( r ) 也线性相关. 事实上，若有不全为零的数 k k k 1 2 , , , r 使 1 1 2 2 0 r r k k k + + + = 则由2即有， 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0. r r k k k + + + = 线性相关的向量组. 如零变换. 事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成 注意：3的逆不成立，即 ( 1 2 ), , , ( ) ( r ) 线性相关， 1 2 未必线性相关. , , , r