北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第八章 λ矩阵（8.3）不变因子

83不变因子

一、 行列式因子 二、 不变因子

、行列式因子 1.定义: 设孔一矩阵A()的秩为r,对于正整数k,1≤k≤r, A(x)中必有非零的k级子式,A(1)中全部k级子式 的首项系数为1的最大公因式D(),称为A()的 k阶行列式因子 注: 若秩((x)=r,则A(4)有r个行列式因子

1. 定义： 一、行列式因子 注： k 阶行列式因子. 的首项系数为1的最大公因式 Dk ( ),  称为 A( )  的 A( )  中必有非零的 k 级子式， A( )  中全部 k 级子式 设  －矩阵 A( )  的秩为 r ，对于正整数 k ， 1 ,   k r 若 秩 ( A r ( )  ) = ，则 A( )  有 r 个行列式因子

2.有关结论 1)(定理3)等价矩阵具有相同的秩与相同的各级 行列式因子 (即初等变换不改变孔一矩阵的秩与行列式因子) 证:只需证,元一矩阵经过一次初等变换,秩与行 列式因子是不变的 设A()经过一次初等变换变成B(),∫()与 g(1)分别是A(4)与B(4)的k级行列式因子 下证∫=g,分三种情形:

行列式因子. 1) （定理3）等价矩阵具有相同的秩与相同的各级 （即初等变换不改变  －矩阵的秩与行列式因子） 证：只需证，  －矩阵经过一次初等变换，秩与行 列式因子是不变的． 2. 有关结论 设 A( )  经过一次初等变换变成 B( )  ， f ( )  与 g( )  分别是 A( )  与 B( )  的 k级行列式因子． 下证 f g = ，分三种情形：

①A(4)→B().此时B(4)的每个k级子式或 者等于A()的某个k级子式,或者与A()的某个 k级子式反号.因此,∫()是B(4)的k级子式的 公因式,从而f(4)g(4) ②A(4)→B(4).此时B(4)的每个k级子式或 者等于A()的某个k级子式,或者等于4(4)的某个 k级子式的c倍.因此,∫(孔)是B(4)的k级子式的 公因式,从而f()g()

k 级子式反号. 公因式， 此时 B( )  的每个 k 级子式或 者等于 A( )  的某个 k 级子式，或者与 A( )  的某个 因此， f ( )  是 B( )  的 k 级子式的  ,  ( ) ( ). i j ① A B   ⎯⎯⎯→ 从而 f g ( ) ( ).   ( ) ( ) ( ). i c A B     ② ⎯⎯⎯→   k 级子式的c倍. 者等于 A( )  的某个 k 级子式，或者等于 A( )  的某个 此时 B( )  的每个 k 级子式或 因此， f ( )  是 B( )  的 k 级子式的 公因式， 从而 f g ( ) ( ).  

间4(1)(→B(x).此时B(A)中包含两行 的和不包含j行的那些k级子式与A(1)中对应的k 级子式相等;B()中包含i行但不包含j行的k级 子式,按i行分成A()的一个k级子式与另一个k 级子式的土(1)倍的和,即为A()的两个k级子式 的组合,因此∫(4)是B(孔)的k级子式的公因式, 从而f(x)g() 同理可得,g()f() f∫()=g(几)

此时 B( )  中包含 i j , 两行 级子式相等； ( ) ( ) ( ). i j A B      + ③ ⎯⎯⎯⎯→   的和不包含 j 行的那些 k 级子式与 A( )  中对应的 k B( )  中包含 i 行但不包含 j 行的 k 级 子式，按 i 行分成 A( )  的一个 k 级子式与另一个 k 级子式的  ( ) 倍的和，即为 A( )  的两个 k 级子式 从而 f g ( ) ( ).   的组合， 因此 f ( )  是 B( )  的 k 级子式的公因式， 同理可得， g f ( ) ( ).    = f g ( ) ( ).  

2)若4-矩阵4()的标准形为 d1(x) D()= d(1) 其中d1(礼),…d1(九)为首1多项式,且 l()dl41(孔),i=1,2,…r-1, 则A()的k级行列式因子为 DA(礼)=d1(九)dl2(1)…d(),k=1,2,…r

2）若  − 矩阵 A( )  的标准形为 1 ( ) ( ) ( ) 0 0 r d d D          =         其中 d d 1 ( ), ( )  r 为首1多项式，且 1 ( ) ( ), 1,2, 1, i i d d i r   + = − 则 A( )  的 k 级行列式因子为 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ), 1,2, . D d d d k r k k     = =

证:∵A()与D()等价, A(1)与D(4)有相的秩与行列式因子 在D(x)中,若一个k级子式包含的行、列指标不 完全相同,则这个k级子式为零 所以只需考虑由i,2…行与i,2…列组成的k 级子式(1≤i1i2…i≤r),即ln(x)…dl1() 而这种k级子式的最大公因式为d1()l2()…dk(4) 所以,A()的级行列式因子 DA(4)=d1()d2(x)…dk(),k=1,2,…r

证： A( )  与 D( )  等价， 完全相同，则这个 k 级子式为零. 在 D( )  中，若一个 k 级子式包含的行、列指标不  A D ( ) ( )   与 有相的秩与行列式因子. 1 2 (1 , , ), k 级子式   i i i r 所以只需考虑由 i i i 1 2 , , k 行与 i i i 1 2 , , k 列组成的 k k 1 ( ) ( ). k i i 即 d d   而这种 k 级子式的最大公因式为 1 2 ( ) ( ) ( ). k d d d    所以， A( )  的 k 级行列式因子 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ), 1,2, . D d d d k r k k     = =

3)(定理4)元-矩阵的标准形是唯一的 证:设元一矩阵A(a)的标准形为 d1(x) D() d() 0 其中41(元),d(4)为首1多项式,且 d()d41(况),i=1,2,…r-1

证：设  − 矩阵 A( )  的标准形为 3）（定理4）  − 矩阵的标准形是唯一的. 1 ( ) ( ) ( ) 0 0 r d d D          =         其中 d d 1 ( ), ( )  r 为首1多项式，且 1 ( ) ( ), 1,2, 1, i i d d i r   + = −

由2),A()的k级行列式因子为 DA()=d1()dl2(孔)…dk(礼),k=1,2,…F 于是 d1(x)=D1(4),d2()= D2(x) D (n) D(,…,d(x) D,-1(x) 即d1(4)…,d(礼)由A(巩)的行列式因子所唯一确定 所以A()的标准形唯 4)秩为r的九一矩阵的r个行列式因子满足 Dk()|Dkn(),k=1,2,…,r-1

于是 2 1 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) , , ( ) ( ) ( ) r r r D D d D d d D D         − = = = 即 d d 1 ( ), , ( )  r 由 A( )  的行列式因子所唯一确定. 由2）， A( )  的 k 级行列式因子为 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ), 1,2, . D d d d k r k k     = = 4）秩为 r 的  − 矩阵的 r 个行列式因子满足： 1 ( ) ( ), 1,2, , 1. D D k r k k   + = − 所以 A( )  的标准形唯一

二、不变因子 1.定义: -矩阵4(x)的标准形 d1(元) D()= dn(1) 的主对角线上的非零元素d1(),d2(巩),…,d(4) 称为A(1)的不变因子

1. 定义： 二、不变因子  − 矩阵 A( )  的标准形 称为 A( )  的不变因子. 1 2 ( ), ( ), , ( ) r 的主对角线上的非零元素 d d d    1 ( ) ( ) ( ) 0 0 r d d D          =        